Dois dos isótopos de carbono, carbono-12 e carbono-13, têm massas de 19,93 \times 10^{-27} kg e 21,59 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}, respectivamente. Esses dois isótopos são ionizados simplesmente (+e), cada um recebendo uma velocidade de 6,667 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Os íons então entram na região de curvatura de um espectrômetro de massa, onde o campo magnético é de 0,8500 T. Determine a separação espacial entre os dois isótopos depois de terem percorrido um semicírculo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a separação espacial entre os dois isótopos de carbono (carbono-12 e carbono-13) depois de terem percorrido um semicírculo num espectrômetro de massa com campo magnético uniforme. Dados fornecidos (peguei todos diretamente do enunciado):
m_{12}=19{,}93\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (massa do carbono-12)
m_{13}=21{,}59\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (massa do carbono-13)
carga de cada íon: q=+e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
velocidade comum: v=6{,}667\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}
campo magnético: B=0{,}8500\\ \mathrm{T}
O que queremos: distância entre os pontos por onde cada íon sai depois de completar um semicírculo dentro do campo magnético.

Passo 2

Conceito físico e fórmula principal (aula rápida e prática): um íon carregado que entra com velocidade \,v perpendicular a um campo magnético \,B sofre a força de Lorentz perpendicular à velocidade, fazendo-o descrever movimento circular. A condição de movimento circular é que a força magnética fornece a força centrípeta:
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.
Aqui:
  • q é a carga do íon (em coulombs),
  • v é a velocidade (m/s),
  • B é o campo magnético (tesla),
  • m é a massa do íon (kg),
  • r é o raio da trajetória circular (m).
Isolando r obtemos a fórmula que usamos no problema:
r = \frac{m v}{q B}.
Essa fórmula diz: quanto maior a massa m, maior o raio; quanto maior a carga q ou o campo B, menor o raio — faz sentido físico e é fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Calcular o raio para o carbono-12 usando \;r_{12}=\dfrac{m_{12}v}{qB}.
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
r_{12}=\frac{(19{,}93\times10^{-27}\\ \mathrm{kg})\,(6{,}667\times10^{5}\\ \mathrm{m/s})}{(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\,(0{,}8500\\ \mathrm{T})}.
Faço primeiro o numerador e o denominador separadamente para não me perder:
numerador:
m_{12}v = 19{,}93\times10^{-27}\times6{,}667\times10^{5} \;=\; 1{,}993\times6{,}667\times10^{-21}
1{,}993\times6{,}667 \approx 13{,}28733
\Rightarrow m_{12}v \approx 13{,}28733\times10^{-21}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}=1{,}328733\times10^{-20}.
denominador:
qB = 1{,}602176634\times10^{-19}\times0{,}8500 \approx 1{,}361849139\times10^{-19}.
Agora a divisão:
r_{12}\approx\frac{1{,}328733\times10^{-20}}{1{,}361849139\times10^{-19}}\approx0{,}09758\\ \mathrm{m}.
Portanto r_{12}\approx0{,}09758\\ \mathrm{m} (obrigatório manter unidades!).

Passo 4

Calcular o raio para o carbono-13 usando \;r_{13}=\dfrac{m_{13}v}{qB}.
Substituindo:
r_{13}=\frac{(21{,}59\times10^{-27}\\ \mathrm{kg})\,(6{,}667\times10^{5}\\ \mathrm{m/s})}{(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\,(0{,}8500\\ \mathrm{T})}.
Numerador:
m_{13}v = 21{,}59\times10^{-27}\times6{,}667\times10^{5} = 2{,}159\times6{,}667\times10^{-21}
2{,}159\times6{,}667 \approx 14{,}394053
\Rightarrow m_{13}v \approx 14{,}394053\times10^{-21}=1{,}4394053\times10^{-20}.
Denominador é o mesmo qB\approx1{,}361849139\times10^{-19}.
Dividindo:
r_{13}\approx\frac{1{,}4394053\times10^{-20}}{1{,}361849139\times10^{-19}}\approx0{,}10570\\ \mathrm{m}.
Portanto r_{13}\approx0{,}10570\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretando geometricamente a saída após um semicírculo: cada íon parte do mesmo ponto de entrada e descreve um semicírculo de raio r. O ponto de saída de cada íon queda no lado oposto do seu círculo, ou seja, a distância entre os pontos de saída é igual a duas vezes a diferença entre os raios:
\Delta r = r_{13}-r_{12}.
Calcule \Delta r:
\Delta r \approx 0{,}10570\\ \mathrm{m} - 0{,}09758\\ \mathrm{m} = 0{,}00812\\ \mathrm{m}.
A separação espacial entre os pontos de saída (percorrendo um semicírculo) é
S = 2\,\Delta r.

Resposta

0{,}01624\\ \mathrm{m} (aproximadamente 1{,}624\\ \mathrm{cm}).

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