Dois dos isótopos de carbono, carbono-12 e carbono-13, têm massas de
kg e
, respectivamente. Esses dois isótopos são ionizados simplesmente (+e), cada um recebendo uma velocidade de
. Os íons então entram na região de curvatura de um espectrômetro de massa, onde o campo magnético é de 0,8500 T. Determine a separação espacial entre os dois isótopos depois de terem percorrido um semicírculo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a separação espacial entre os dois isótopos de carbono (carbono-12 e carbono-13) depois de terem percorrido um semicírculo num espectrômetro de massa com campo magnético uniforme. Dados fornecidos (peguei todos diretamente do enunciado):
carga de cada íon:
velocidade comum:
campo magnético:
O que queremos: distância entre os pontos por onde cada íon sai depois de completar um semicírculo dentro do campo magnético.
Passo 2
Conceito físico e fórmula principal (aula rápida e prática): um íon carregado que entra com velocidade
perpendicular a um campo magnético
sofre a força de Lorentz perpendicular à velocidade, fazendo-o descrever movimento circular. A condição de movimento circular é que a força magnética fornece a força centrípeta:
Aqui:
-
é a carga do íon (em coulombs), -
é a velocidade (m/s), -
é o campo magnético (tesla), -
é a massa do íon (kg), -
é o raio da trajetória circular (m).
Isolando
obtemos a fórmula que usamos no problema:
Essa fórmula diz: quanto maior a massa
, maior o raio; quanto maior a carga
ou o campo
, menor o raio — faz sentido físico e é fácil de aplicar na prova.
Passo 3
Calcular o raio para o carbono-12 usando
.
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
Faço primeiro o numerador e o denominador separadamente para não me perder:
numerador:
denominador:
Agora a divisão:
Portanto
(obrigatório manter unidades!).
Passo 4
Calcular o raio para o carbono-13 usando
.
Substituindo:
Numerador:
Denominador é o mesmo
.
Dividindo:
Portanto
.
Passo 5
Interpretando geometricamente a saída após um semicírculo: cada íon parte do mesmo ponto de entrada e descreve um semicírculo de raio
. O ponto de saída de cada íon queda no lado oposto do seu círculo, ou seja, a distância entre os pontos de saída é igual a duas vezes a diferença entre os raios:
Calcule
:
A separação espacial entre os pontos de saída (percorrendo um semicírculo) é