Uma espaçonave de massa 1500 kg está na posição com coordenadas
com respeito a um certo referencial. No mesmo referencial, um asteroide de massa
está na posição
. Não há outros objetos nas proximidades.
(a) Determine (graficamente e analiticamente) o vetor da posição relativa
que aponta da nave para o asteroide.
(b) Determine a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide.
(c) Determine a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.
(a) Determine (graficamente e analiticamente) o vetor da posição relativa
(b) Determine a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide.
(c) Determine a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.
Passo 1
O enunciado dá as posições e massas dos dois corpos e pede três coisas. Dados relevantes (todos em TeX):
O que o exercício pede:
(a) o vetor posição relativo que aponta da nave para o asteroide (graficamente e analiticamente);
(b) a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide;
(c) a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.
(a) o vetor posição relativo
(b) a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide;
(c) a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.
Passo 2
Interpretação gráfica (descrição de como desenhar): coloque um sistema de eixos
no papel. Marque o ponto da espaçonave em
e o ponto do asteroide em
. Desenhe uma seta que parte da espaçonave e termina no asteroide; essa seta é o vetor relativo pedido em (a). A seta tem componentes horizontais e verticais dadas pela diferença das coordenadas; ela aponta para o quadrante que contém o asteroide (a esquerda e abaixo da nave). Isso é o “traçado” gráfico: dois pontos e uma seta do ponto da nave para o ponto do asteroide.
Passo 3
Cálculo analítico do vetor posição relativo: o vetor que vai da espaçonave para o asteroide é a diferença
Substituindo coordenadas:
Fazendo as subtrações:
Esse é o vetor pedido em (a) na forma de componentes.
Passo 4
Cálculo do módulo e do versor (unidade de direção) do vetor
. O módulo é dado por
Aqui,
Logo
O versor (vetor unitário na direção de
) é
Passo 5
Fórmula da força gravitacional (revisão didática): a força que um corpo de massa
exerce sobre outro de massa
separados por distância
tem módulo dado pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
. Essa força é atrativa e age ao longo da linha que une os dois corpos. Em forma vetorial, se
aponta de
para
, a força sobre
por
é
(Explicação: o sinal menos indica que a força aponta no sentido oposto a
, ou seja, é atrativa.)
Passo 6
Cálculo do módulo da força entre espaçonave e asteroide. Use
,
,
e
. Primeiro calcule o numerador:
Multiplicando as mantissas e somando expoentes:
Agora divide por
. Temos
. Assim
Passo 7
Cálculo vetor da força exercida pela espaçonave sobre o asteroide (item b). Usando a forma vetorial explicada no Passo 5, e lembrando que
estava apontando da espaçonave para o asteroide, a força sobre o asteroide (devida à espaçonave) aponta na direção oposta a
. Assim
Substituindo
e
:
Calculando componente a componente:
Portanto
Passo 8
Força do asteroide sobre a espaçonave (item c) — lei da ação e reação: pela Terceira Lei de Newton, as forças são mútua e opostamente iguais. Assim
Interpretação física: o asteroide atrai a espaçonave com a mesma intensidade, mas em sentido oposto.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)