Uma espaçonave de massa 1500 kg está na posição com coordenadas \left(3 \times 10^{5}, 7 \times 10^{5}, 0\right) \mathrm{m} com respeito a um certo referencial. No mesmo referencial, um asteroide de massa 7 \times 10^{15} \mathrm{~kg} está na posição \left(-9 \times 10^{5},-3 \times 10^{5}, 0\right) \mathrm{m}. Não há outros objetos nas proximidades.
(a) Determine (graficamente e analiticamente) o vetor da posição relativa \vec{r} que aponta da nave para o asteroide.
(b) Determine a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide.
(c) Determine a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.

Passo 1

O enunciado dá as posições e massas dos dois corpos e pede três coisas. Dados relevantes (todos em TeX):
\text{massa da espaçonave } m_s = 1500\\ \mathrm{kg},ç
\text{massa do asteroide } m_a = 7\times10^{15}\\ \mathrm{kg},
\text{posição da espaçonave } \vec{r}_s = \left(3\times10^{5},\,7\times10^{5},\,0\right)\\ \mathrm{m},çãç
\text{posição do asteroide } \vec{r}_a = \left(-9\times10^{5},\,-3\times10^{5},\,0\right)\\ \mathrm{m}.çã
O que o exercício pede:
(a) o vetor posição relativo \vec{r} que aponta da nave para o asteroide (graficamente e analiticamente);
(b) a força exercida pela espaçonave sobre o asteroide;
(c) a força exercida pelo asteroide sobre a espaçonave.

Passo 2

Interpretação gráfica (descrição de como desenhar): coloque um sistema de eixos xy no papel. Marque o ponto da espaçonave em x=3\times10^{5},\,y=7\times10^{5} e o ponto do asteroide em x=-9\times10^{5},\,y=-3\times10^{5}. Desenhe uma seta que parte da espaçonave e termina no asteroide; essa seta é o vetor relativo pedido em (a). A seta tem componentes horizontais e verticais dadas pela diferença das coordenadas; ela aponta para o quadrante que contém o asteroide (a esquerda e abaixo da nave). Isso é o “traçado” gráfico: dois pontos e uma seta do ponto da nave para o ponto do asteroide.

Passo 3

Cálculo analítico do vetor posição relativo: o vetor que vai da espaçonave para o asteroide é a diferença
\vec{r}=\vec{r}_a-\vec{r}_s.
Substituindo coordenadas:
\vec{r}=\bigl(-9\times10^{5}-3\times10^{5},\;-3\times10^{5}-7\times10^{5},\;0-0\bigr)\\ \mathrm{m}.
Fazendo as subtrações:
\vec{r}=\bigl(-1{,}2\times10^{6},\;-1{,}0\times10^{6},\;0\bigr)\\ \mathrm{m}.
Esse é o vetor pedido em (a) na forma de componentes.

Passo 4

Cálculo do módulo e do versor (unidade de direção) do vetor \vec{r}. O módulo é dado por
|\vec{r}|=\sqrt{(r_x)^2+(r_y)^2+(r_z)^2}.
Aqui,
|\vec{r}|=\sqrt{(-1{,}2\times10^{6})^2+(-1{,}0\times10^{6})^2+0^2}=\sqrt{1{,}44\times10^{12}+1{,}00\times10^{12}}=\sqrt{2{,}44\times10^{12}}.
Logo
|\vec{r}|=1{,}56125\times10^{6}\\ \mathrm{m}\approx1{,}56\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
O versor (vetor unitário na direção de \vec{r}) é
\hat{u}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=\left(\frac{-1{,}2\times10^{6}}{1{,}56125\times10^{6}},\;\frac{-1{,}0\times10^{6}}{1{,}56125\times10^{6}},\;0\right)\approx(-0{,}768,\,-0{,}640,\,0).

Passo 5

Fórmula da força gravitacional (revisão didática): a força que um corpo de massa m_1 exerce sobre outro de massa m_2 separados por distância r tem módulo dado pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G\frac{m_1 m_2}{r^2},
onde G é a constante gravitacional, G\approx6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\\ kg^{-1}\\ s^{-2}}. Essa força é atrativa e age ao longo da linha que une os dois corpos. Em forma vetorial, se \vec{r} aponta de m_1 para m_2, a força sobre m_2 por m_1 é
\vec{F}_{1\to2}=-G\frac{m_1 m_2}{|\vec{r}|^3}\,\vec{r}.
(Explicação: o sinal menos indica que a força aponta no sentido oposto a \vec{r}, ou seja, é atrativa.)

Passo 6

Cálculo do módulo da força entre espaçonave e asteroide. Use m_s=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{kg}, m_a=7\times10^{15}\\ \mathrm{kg}, G=6{,}67\times10^{-11} e r=1{,}56125\times10^{6}\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule o numerador:
G\,m_s m_a = 6{,}67\times10^{-11}\times(1{,}5\times10^{3})\times(7\times10^{15}).
Multiplicando as mantissas e somando expoentes:
m_s m_a = 1{,}5\times10^{3}\times7\times10^{15}=1{,}05\times10^{19},
G\,m_s m_a = 6{,}67\times10^{-11}\times1{,}05\times10^{19}=7{,}0035\times10^{8}.
Agora divide por r^2. Temos r^2=2{,}44\times10^{12}. Assim
F=\frac{7{,}0035\times10^{8}}{2{,}44\times10^{12}}=2{,}8717\times10^{-4}\\ \mathrm{N}\approx2{,}87\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Cálculo vetor da força exercida pela espaçonave sobre o asteroide (item b). Usando a forma vetorial explicada no Passo 5, e lembrando que \vec{r} estava apontando da espaçonave para o asteroide, a força sobre o asteroide (devida à espaçonave) aponta na direção oposta a \vec{r}. Assim
\vec{F}_{s\to a}=-F\,\hat{u}.
Substituindo F\approx2{,}8717\times10^{-4}\\ \mathrm{N} e \hat{u}\approx(-0{,}768,\,-0{,}640,\,0):
\vec{F}_{s\to a}\approx -\bigl(2{,}8717\times10^{-4}\bigr)\,(-0{,}768,\,-0{,}640,\,0).
Calculando componente a componente:
F_x \approx 2{,}8717\times10^{-4}\times0{,}768 = 2{,}21\times10^{-4}\\ \mathrm{N},
F_y \approx 2{,}8717\times10^{-4}\times0{,}640 = 1{,}84\times10^{-4}\\ \mathrm{N},
F_z = 0.
Portanto
\vec{F}_{s\to a}\approx\bigl(2{,}21\times10^{-4},\;1{,}84\times10^{-4},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Força do asteroide sobre a espaçonave (item c) — lei da ação e reação: pela Terceira Lei de Newton, as forças são mútua e opostamente iguais. Assim
\vec{F}_{a\to s}=-\vec{F}_{s\to a}\approx\bigl(-2{,}21\times10^{-4},\;-1{,}84\times10^{-4},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: o asteroide atrai a espaçonave com a mesma intensidade, mas em sentido oposto.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}=\bigl(-1{,}2\times10^{6},\;-1{,}0\times10^{6},\;0\bigr)\\ \mathrm{m},\quad |\vec{r}|\approx1{,}56\times10^{6}\\ \mathrm{m},\quad \hat{u}\approx(-0{,}768,\,-0{,}640,\,0).
(b) \displaystyle \vec{F}_{s\to a}\approx\bigl(2{,}21\times10^{-4},\;1{,}84\times10^{-4},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.
(c) \displaystyle \vec{F}_{a\to s}\approx\bigl(-2{,}21\times10^{-4},\;-1{,}84\times10^{-4},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.

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