Um longo fio reto e uma espira retangular estão no mesmo plano. O lado da espira perpendicular ao fio tem 30 cm de comprimento; o lado paralelo tem 50 cm . As correntes são i_{1}=10 \mathrm{~A} (no fio) e i_{2}=20 \mathrm{~A} (na espira), e a espira astá a 25 cm do fio.
(a) Qual é a força resultante sobre a espira:

Passo 1

Vamos listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • comprimento do lado da espira perpendicular ao fio: \,30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}\,.
    • comprimento do lado da espira paralelo ao fio: \,50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}\,.
    • corrente no fio longo: \,i_{1}=10\\ \mathrm{A}\,.
    • corrente na espira: \,i_{2}=20\\ \mathrm{A}\,.
    • distância entre o fio e a face mais próxima da espira: \,25\\ \mathrm{cm}=0,25\\ \mathrm{m}\,.
  • O que é pedido:
    • (a) a força resultante sobre a espira (módulo e direção).

Passo 2

Entender quais partes da espira sofrem força magnética e por quê (já que eu sei pouca coisa, vou explicar passo a passo).
  • A espira retangular tem dois lados paralelos ao fio (cada um com comprimento \,L=0,50\\ \mathrm{m}\,) e dois lados perpendiculares ao fio (cada um com comprimento \,0,30\\ \mathrm{m}\,).
  • O campo magnético criado por um fio longo e retilíneo, no ponto a uma distância r do fio, tem magnitude dada por:
B(r)=\dfrac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi r},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}} é a permeabilidade do vácuo, i_{1} é a corrente no fio e r é a distância ao fio.
  • Força magnética sobre um segmento retilíneo de corrente i_{2}, de comprimento L, que esteja em um campo magnético uniforme B e com a corrente perpendicular ao campo, tem magnitude
F=i_{2}\,L\,B.
Isto vem da lei geral \vec F=i_{2}\,\vec L\times\vec B; aqui |\vec L|=L e o ângulo é 90^\circ, então |\vec F|=i_{2}LB.
  • No nosso caso, o campo do fio é (numa boa escolha de coordenadas) perpendicular ao plano da espira, e os lados da espira paralelos ao fio têm corrente também paralela ao fio; o produto vetorial dá forças dirigidas radialmente (isto é, na direção que aproxima/afasta a espira do fio). Já os lados perpendiculares ao fio recebem forças que se anulam entre si (mesmo módulo, sentidos opostos), então não contribuem para a força resultante total. Portanto só precisamos considerar as duas faces paralelas ao fio.

Passo 3

Identificar as distâncias das duas faces paralelas ao fio e os sentidos das forças.
  • A face mais próxima está a \,r_{1}=0,25\\ \mathrm{m}\, do fio.
  • A face mais distante está a \,r_{2}=0,25+0,30=0,55\\ \mathrm{m}\, do fio (peguei o 0,30\\ \mathrm{m} do lado perpendicular).
  • As correntes nas duas faces paralelas da espira têm sentidos opostos (é uma espira fechada). Assim:
    • Se a corrente da face mais próxima estiver no mesmo sentido de i_{1}, a interação entre esas duas correntes será atrativa (força dirigida para o fio) na face mais próxima.
    • Na face mais distante a corrente está no sentido oposto, então a interação com i_{1} será repulsiva (força dirigida para longe do fio).
  • Como a força magnética decresce com a distância ( B\propto 1/r), a face mais próxima sofre maior força de atração do que a face mais distante sofre de repulsão. Logo haverá uma força resultante dirigida em direção ao fio. (Se na sua prova a orientação dos sentidos fosse invertida, o resultado seria o mesmo em módulo e direção invertida; aqui vou assumir a orientação que gera atração na face mais próxima — isso é o caso normalmente considerado.)

Passo 4

Escrever as expressões das forças nas duas faces paralelas (módulos) e explicar cada símbolo.
  • Campo do fio a distância r:
B(r)=\dfrac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi r},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
  • Força sobre uma face de comprimento L=0,50\\ \mathrm{m}:
F(r)=i_{2}\,L\,B(r)=i_{2}\,L\left(\dfrac{\mu_{0}\,i_{1}}{2\pi r}\right).
Cada símbolo:
  • \,i_{1}: corrente no fio longo.
  • \,i_{2}: corrente na espira (no segmento considerado).
  • \,L: comprimento do segmento paralelo ao fio.
  • \,r: distância do segmento ao fio.
  • \,F(r): módulo da força sobre esse segmento.

Passo 5

Calcular numericamente a força na face mais próxima ( r_{1}=0,25\\ \mathrm{m}).
  • Primeiro simplificar o fator \dfrac{\mu_{0}}{2\pi}:
\dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
  • Então
F_{1}=i_{2}L\left(\dfrac{\mu_{0}i_{1}}{2\pi r_{1}}\right)=2\times10^{-7}\,\dfrac{i_{1}i_{2}L}{r_{1}}.
  • Substituindo \,i_{1}=10\\ \mathrm{A},\\ i_{2}=20\\ \mathrm{A},\\ L=0,50\\ \mathrm{m},\\ r_{1}=0,25\\ \mathrm{m}:
F_{1}=2\times10^{-7}\cdot\dfrac{10\cdot20\cdot0,50}{0,25}.
  • Calcule passo a passo:
    • 10\cdot20=200.
    • \dfrac{0,50}{0,25}=2.
    • Logo 200\cdot2=400.
    • Assim F_{1}=2\times10^{-7}\cdot400=8{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular numericamente a força na face mais distante ( r_{2}=0,55\\ \mathrm{m}).
  • Usando a mesma fórmula:
F_{2}=2\times10^{-7}\cdot\dfrac{10\cdot20\cdot0,50}{0,55}.
  • Calcule:
    • 10\cdot20\cdot0,50=200\cdot0,50=100 — atenção: recomputando consistentemente, melhor reescrever como antes: 200\cdot(0,50/0,55)=200\cdot0,90909\ldots\approx181,818.
    • Então F_{2}=2\times10^{-7}\cdot181{,}818\ldots\approx3{,}63636\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando com cuidado, F_{2}\approx3{,}64\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a força resultante (vetorial) sobre a espira.
  • A face mais próxima sofre atração de módulo F_{1} (para o fio) e a face mais distante sofre repulsão de módulo F_{2} (para longe do fio). Como as forças têm sentidos opostos, a resultante é a diferença dos módulos, na direção do maior (a atração na face mais próxima).
  • Módulo da força resultante:
F_{\mathrm{res}}=F_{1}-F_{2}=8{,}0\times10^{-5}-3{,}63636\times10^{-5}=4{,}36364\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
F_{\mathrm{res}}\approx4{,}36\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
  • Direção: em direção ao fio (atração), sob a hipótese (natural neste enunciado) de que a corrente na face mais próxima corre no mesmo sentido de \,i_{1}.

Passo 8

Comentário final curto e encorajador (pra você não surtar na véspera da prova).
  • O resultado é muito pequeno (ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{N}), o que é comum em forças magnéticas entre correntes moderadas e pequenas dimensões.
  • Método prático para a prova: calcular apenas as duas faces paralelas com a fórmula \,F=i_{2}L\cdot(\mu_{0}i_{1}/2\pi r)\, e subtrair os módulos (a mais próxima domina).

Resposta

4,36\times10^{-5}\\ \mathrm{N} (direção: em direção ao fio).

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