Usando a lei de Biot-Savart,
\mathrm{d} \vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{i \mathrm{~d} \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}},
derive a expressão para o campo magnético de um fio reto longo e mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Biot–Savart na forma
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}}{r^{2}}.
O que se pede:
  • Derivar a expressão do campo magnético \vec{B} produzido por um fio reto, longo (idealmente infinito) com corrente i, no ponto situado a uma distância R do fio.
  • Mostrar que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que usaremos):
  • A corrente é constante i que percorre o fio retilíneo e longo.
  • Queremos o campo em um ponto a distância R do fio.
  • A lei de Biot–Savart relaciona cada elemento de corrente \mathrm{d}\vec{l} com a contribuição \mathrm{d}\vec{B} naquele ponto.

Passo 2

Posicionamento e notação (escolha de coordenadas):
  • Coloco o fio ao longo do eixo \hat{z} (fácil e padrão). Assim cada elemento de corrente está em uma posição com coordenada z'.
  • Escolho o ponto P onde quero o campo sobre o eixo radial \hat{\rho} em coordenadas cilíndricas, a distância R do eixo: isso significa que o vetor posição do ponto campo é \vec{r}=(R,0,0) em notação cartesiana ou simplesmente a distância radial R.
  • Um elemento de fio infinitesimal será \mathrm{d}\vec{l}=\mathrm{d}z'\,\hat{z} (porque corrente sobe ao longo de z).
  • A posição do elemento de corrente é \vec{r}'=(0,0,z').
  • O vetor que vai do elemento até o ponto P é \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'=R\,\hat{\rho}-z'\,\hat{z}. O módulo desse vetor é
r=\sqrt{R^{2}+{z'}^{2}}.
  • A unidade nesse sentido é \hat{r}=\dfrac{\vec{R}}{r}=\dfrac{R\,\hat{\rho}-z'\,\hat{z}}{r}.
Aqui expliquei o que é cada símbolo:
  • \mathrm{d}\vec{l} é o vetor comprimento do elemento de fio na direção da corrente.
  • \vec{r}' é a posição da fonte (elemento de corrente).
  • \vec{r} é a posição do ponto onde calculamos o campo.
  • \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}' é o vetor que aponta do elemento até o ponto.
  • r=|\vec{R}| e \hat{r}=\vec{R}/r.

Passo 3

Avaliar o produto vetorial \mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}:
  • Temos \mathrm{d}\vec{l}=\mathrm{d}z'\,\hat{z} e \hat{r}=(R\,\hat{\rho}-z'\,\hat{z})/r.
  • O termo com \hat{z}\times\hat{z} se anula, então só sobra a parte com \hat{z}\times\hat{\rho}:
\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}=\mathrm{d}z'\,\hat{z}\times\frac{R\,\hat{\rho}-z'\,\hat{z}}{r} =\mathrm{d}z'\,\frac{R}{r}\,\bigl(\hat{z}\times\hat{\rho}\bigr).
  • Em coordenadas cilíndricas existe o versor azimutal \hat{\varphi} tal que \hat{z}\times\hat{\rho}=\hat{\varphi}. Logo
\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}=\frac{R\,\mathrm{d}z'}{r}\,\hat{\varphi}.
Comentário didático sobre o cross product: o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos; aqui o resultado fica na direção tangencial ao círculo de raio R, isto é \hat{\varphi}, que representa o sentido circular em torno do fio (coerente com a regra da mão direita).

Passo 4

Substituir em Biot–Savart e obter a integral a resolver:
  • A forma escalar (módulo e direção) de \mathrm{d}\vec{B} fica
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i}{r^{2}}\left(\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}\right) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,i\,\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{R\,\mathrm{d}z'}{r}\,\hat{\varphi}.
  • Agrupando os fatores de r,
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4\pi}\,\frac{R\,\mathrm{d}z'}{r^{3}}\,\hat{\varphi}, \qquad\text{com}\qquad r=\sqrt{R^{2}+{z'}^{2}}.
  • O campo total é a soma/integral das contribuições \mathrm{d}\vec{B} ao longo de todo o fio. Para um fio muito longo (idealmente infinito) integramos z' de -\infty a +\infty:
\vec{B}=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\vec{B} =\frac{\mu_{0} i}{4\pi}\,\hat{\varphi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{R\,\mathrm{d}z'}{(R^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Calcular a integral
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{R\,\mathrm{d}z'}{(R^{2}+{z'}^{2})^{3/2}}.
Fazemos a substituição trigonométrica clássica para integrais com \sqrt{R^{2}+{z'}^{2}}:
  • Tome \\ z'=R\tan\theta. Então \mathrm{d}z'=R\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.
  • Note que r=\sqrt{R^{2}+{z'}^{2}}=R\operatorname{sec}\theta.
  • Substituindo,
I=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R\cdot R\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{(R\operatorname{sec}\theta)^{3}} =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{R^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}{R^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}\,\mathrm{d}\theta =\frac{1}{R}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.
  • A integral de \cos\theta é simples:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\pi/2)-\sin(-\pi/2)=1-(-1)=2.
  • Portanto
I=\frac{2}{R}.

Passo 6

Substituir o resultado da integral na expressão de \vec{B}:
\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4\pi}\,\hat{\varphi}\cdot I =\frac{\mu_{0} i}{4\pi}\,\hat{\varphi}\cdot\frac{2}{R} =\frac{\mu_{0} i}{2\pi R}\,\hat{\varphi}.
Este é o módulo e a direção do campo magnético: a direção \hat{\varphi} significa que \vec{B} é tangencial aos círculos concêntricos ao fio, com sentido dado pela regra da mão direita (se o polegar aponta no sentido da corrente, os dedos mostram o sentido de \vec{B}).

Passo 7

Verificação pela lei de Ampère (mostrar que coincide):
  • A forma integral da lei de Ampère no vácuo é
\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • Escolho a trajetória fechada como um círculo de raio R centrado no fio. Por simetria, \vec{B} tem módulo constante ao longo deste círculo e é tangencial, logo \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=B\,\mathrm{d}\ell.
  • O lado esquerdo fica B\oint\mathrm{d}\ell=B(2\pi R). O fluxo de corrente envolvido é I_{\text{enc}}=i.
  • Assim
B(2\pi R)=\mu_{0} i \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\mu_{0} i}{2\pi R}.
  • Direção: tangencial ao círculo ( \hat{\varphi}), sentido pela regra da mão direita. Isso coincide exatamente com o resultado obtido pela integração da lei de Biot–Savart.

Passo 8

Comentários finais e intuição:
  • A integração direta de Biot–Savart deu \vec{B}=\dfrac{\mu_{0} i}{2\pi R}\,\hat{\varphi}. A lei de Ampère, por argumentos de simetria e escolha de um caminho circular, dá o mesmo valor numérico e direção.
  • O resultado mostra que para um fio longo e retilíneo o campo decai como 1/R e é circular ao redor do fio.
  • Observação prática: o cálculo por Biot–Savart é mais geral (aplica-se a geometrias arbitrárias), mas para geometrias com alta simetria (fio infinito, plano, solenoide ideal, etc.) a lei de Ampère fornece um caminho muito mais simples.

Resposta

\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}\,i}{2\pi R}\,\hat{\varphi}

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