Usando a lei de Biot-Savart,
derive a expressão para o campo magnético de um fio reto longo e mostre que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de Biot–Savart na forma
O que se pede:
- Derivar a expressão do campo magnético
produzido por um fio reto, longo (idealmente infinito) com corrente , no ponto situado a uma distância do fio. - Mostrar que o resultado coincide com o obtido pela lei de Ampère.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e que usaremos):
- A corrente é constante
que percorre o fio retilíneo e longo. - Queremos o campo em um ponto a distância
do fio. - A lei de Biot–Savart relaciona cada elemento de corrente
com a contribuição naquele ponto.
Passo 2
Posicionamento e notação (escolha de coordenadas):
- Coloco o fio ao longo do eixo
(fácil e padrão). Assim cada elemento de corrente está em uma posição com coordenada . - Escolho o ponto
onde quero o campo sobre o eixo radial em coordenadas cilíndricas, a distância do eixo: isso significa que o vetor posição do ponto campo é em notação cartesiana ou simplesmente a distância radial . - Um elemento de fio infinitesimal será
(porque corrente sobe ao longo de ). - A posição do elemento de corrente é
. - O vetor que vai do elemento até o ponto
é . O módulo desse vetor é
- A unidade nesse sentido é
Aqui expliquei o que é cada símbolo:
-
é o vetor comprimento do elemento de fio na direção da corrente. -
é a posição da fonte (elemento de corrente). -
é a posição do ponto onde calculamos o campo. -
é o vetor que aponta do elemento até o ponto. -
e .
Passo 3
Avaliar o produto vetorial
:
- Temos
e . - O termo com
se anula, então só sobra a parte com :
- Em coordenadas cilíndricas existe o versor azimutal
tal que . Logo
Comentário didático sobre o cross product: o produto vetorial
é um vetor perpendicular a ambos; aqui o resultado fica na direção tangencial ao círculo de raio
, isto é
, que representa o sentido circular em torno do fio (coerente com a regra da mão direita).
Passo 4
Substituir em Biot–Savart e obter a integral a resolver:
- A forma escalar (módulo e direção) de
fica
- Agrupando os fatores de
,
- O campo total é a soma/integral das contribuições
ao longo de todo o fio. Para um fio muito longo (idealmente infinito) integramos de a :
Passo 5
Calcular a integral
Fazemos a substituição trigonométrica clássica para integrais com
:
- Tome
. Então . - Note que
. - Substituindo,
- A integral de
é simples:
- Portanto
Passo 6
Substituir o resultado da integral na expressão de
:
Este é o módulo e a direção do campo magnético: a direção
significa que
é tangencial aos círculos concêntricos ao fio, com sentido dado pela regra da mão direita (se o polegar aponta no sentido da corrente, os dedos mostram o sentido de
).
Passo 7
Verificação pela lei de Ampère (mostrar que coincide):
- A forma integral da lei de Ampère no vácuo é
- Escolho a trajetória fechada como um círculo de raio
centrado no fio. Por simetria, tem módulo constante ao longo deste círculo e é tangencial, logo . - O lado esquerdo fica
. O fluxo de corrente envolvido é . - Assim
- Direção: tangencial ao círculo (
), sentido pela regra da mão direita. Isso coincide exatamente com o resultado obtido pela integração da lei de Biot–Savart.
Passo 8
Comentários finais e intuição:
- A integração direta de Biot–Savart deu
. A lei de Ampère, por argumentos de simetria e escolha de um caminho circular, dá o mesmo valor numérico e direção. - O resultado mostra que para um fio longo e retilíneo o campo decai como
e é circular ao redor do fio. - Observação prática: o cálculo por Biot–Savart é mais geral (aplica-se a geometrias arbitrárias), mas para geometrias com alta simetria (fio infinito, plano, solenoide ideal, etc.) a lei de Ampère fornece um caminho muito mais simples.