Dois fios supercondutores retilineos e paralelos, separados por uma distância de 4,5 mm, conduzem correntes iguais, porém em sentidos contrários, com módulo igual a 15.000 A. Que força, por unidade de comprimento, cada fio exerce sobre o outro?

Passo 1

O enunciado apresenta dois fios retilíneos e paralelos, separados por uma distância de d = 4{,}5\times10^{-3}\\ \text{m}, conduzindo correntes iguais I_1 = I_2 = 15\,000\\ \text{A} em sentidos contrários. O problema pede para determinar a força por unidade de comprimento F/L (em \text{N}/\text{m}) que cada fio exerce sobre o outro, e indicar o sentido (atração ou repulsão).

Passo 2

A fórmula do campo magnético criado por um fio retilíneo longo é dada por:
B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \text{N}\cdot\text{A}^{-2} é a permeabilidade do vácuo. Esse resultado é obtido através da lei de Biot–Savart ou da lei de Ampère, onde o campo é tangencial às circunferências centradas no fio e decai como 1/r.

Passo 3

A força sobre o segundo fio, imerso num campo magnético B, é dada por unidade de comprimento por:
\frac{F}{L}=I_2\,B.
Substituindo o campo magnético B produzido pelo fio 1 na posição do fio 2 (com r=d), obtemos a expressão para a força entre dois fios paralelos:
\frac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Como as correntes têm sentidos contrários, a força é repulsiva.

Passo 4

Calculando numericamente, como I_1=I_2=I, temos
\frac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi d}.
Primeiro, observe que
\dfrac{\mu_0}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \text{N}\cdot\text{A}^{-2}.
O quadrado da corrente é
I^2=(15\,000)^2=225\,000\,000=2{,}25\times10^{8}\\ \text{A}^2.
Multiplicando:
2\times10^{-7}\times2{,}25\times10^{8}= (2\times2{,}25)\times10^{1}=4{,}5\times10^{1}=45.
Dividindo pela distância d=4{,}5\times10^{-3}\\ \text{m}:
\frac{F}{L}=\frac{45}{4{,}5\times10^{-3}}=\frac{45}{4{,}5}\times10^{3}=10\times10^{3}=1{,}0\times10^{4}\\ \text{N}/\text{m}.

Passo 5

O resultado 1{,}0\times10^{4}\\ \text{N}/\text{m} representa a magnitude da força por metro que um fio exerce sobre o outro. Como as correntes estão em sentidos opostos, a força é repulsiva, ou seja, cada fio “empurra” o outro, tendendo a aumentar a distância entre eles.

Passo 6

Verificação das unidades: \mu_0 tem unidades \text{N}\cdot\text{A}^{-2}, multiplicado por I^2 resulta em \text{N}, e dividido por \text{m} resulta em \text{N}/\text{m}, o que é coerente com a unidade de força por unidade de comprimento.

Resposta

1{,}0\times10^{4}\\ \text{N}/\text{m} (repulsiva)

Exercícios relacionados