1. Em uma usina hidrelétrica, 57.000 kg de água caem, por segundo, de uma altura de 19 m . Se metade da energia potencial gravitacional da água é convertida em energia elétrica, qual é a potência gerada pela usina?
    a) 2,7 \times 10^{6} \mathrm{~W}
    b) 5,3 \times 10^{6} \mathrm{~W}
    c) 1,1 \times 10^{7} \mathrm{~W}
    d) 1,3 \times 10^{8} \mathrm{~W}
    e) 2,7 \times 10^{8} \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica gerada pela usina. Dados fornecidos:
  • massa de água que cai por segundo: \dot m = 57\,000\\ \mathrm{kg/s};
  • altura de queda: h = 19\\ \mathrm{m};
  • metade da energia potencial gravitacional é convertida em energia elétrica (ou seja, eficiência = 50\% ou 1/2).
    Também sabemos que a aceleração da gravidade vale aproximadamente g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
    A pergunta é: qual a potência gerada (em watts)?

Passo 2

Conceito de energia potencial gravitacional: a energia potencial associada a uma massa m situada a uma altura h é dada por
E_p = m\,g\,h.
Aqui E_p é a energia em joules ( \mathrm{J}), m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}), g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^2} e h é a altura em metros ( \mathrm{m}). Essa fórmula vem do trabalho necessário para elevar a massa m contra a gravidade até a altura h.

Passo 3

Conceito de potência: potência é energia por unidade de tempo. Como a massa de água que cai é dada por taxa de fluxo de massa \dot m (quilogramas por segundo), a energia potencial perdida por segundo — isto é, a potência disponível inicialmente — é
P_{\text{disponível}} = \dot m \, g \, h.í
Aqui P_{\text{disponível}}í está em watts ( \mathrm{W}), pois 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}. Se nem toda energia é convertida, multiplicamos por a eficiência \eta para obter a potência elétrica gerada:
P_{\text{elétrica}} = \eta \, \dot m \, g \, h.é

Passo 4

Vamos calcular primeiro g\cdot h:
g\cdot h = 9,8 \cdot 19 = 186,2.
Agora a potência disponível (antes da eficiência) é
P_{\text{disponível}} = \dot m \, g \, h = 57\,000 \cdot 186,2.í
Calcular 57\,000\cdot186,2: primeiro 186,2\cdot57 = 10\,613,4, logo
57\,000\cdot186,2 = 10\,613,4\cdot10^{3} = 1,06134\times10^{7}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Agora aplicamos a eficiência: apenas metade da energia é convertida em elétrica, ou seja \eta=\tfrac{1}{2}. Assim
P_{\text{elétrica}} = \tfrac{1}{2}\cdot 1,06134\times10^{7} = 5,3067\times10^{6}\\ \mathrm{W}.é
Arredondando para dois algarismos significativos (para comparar com as alternativas):
P_{\text{elétrica}}\approx 5,3\times10^{6}\\ \mathrm{W}.é

Passo 6

Conclusão: a potência gerada corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 5,3\times10^{6}\\ \mathrm{W}

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