Dois flutuadores de massas \mathrm{M}_{1} e \mathrm{M}_{2} sofreram uma colisão unidimensional. O flutuador de massa \mathrm{M}_{1} foi lançado contra o flutuador de massa \mathrm{M}_{2} que, inicialmente, estava em repouso.
O experimento foi efetuado inicialmente sem colocar massas adicionais no flutuador 2. Em seguida, foram adicionadas ao flutuador 2 as massas: 20,40,60,80,100,120 \mathrm{~g}.
Em cada ensaio foram cronometrados os tempos de passagem das bandeirolas pelos cronômetros antes e depois da colisão. Os dados experimentais estão mostrados no Quadro1.
Largura da bandeirola \mathrm{L}=11,00 \mathrm{~mm}
a) verificar a conservação do momento linear
b) verificar a conservaçãoe da energia cinética.
c) verificar se a colisão é elástica ou inelástica.
Table 1: Quadro 1 - Valores obtidos nas colisões unidimensionais com o flutuador 2 parado.
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathrm{M}_{1} (g) \mathbf{M}_{\mathbf{2}} (g) \mathrm{t}_{1 \mathrm{i}} (s) \mathrm{v}_{1 \mathrm{i}} (m/s) \mathrm{v}_{2 \mathrm{i}} (m/s) \left(\mathrm{t}_{1 \mathrm{i}}+\mathrm{t}_{1 \mathrm{f}}\right) (s) \mathrm{t}_{1 \mathrm{f}}(\mathrm{s}) \mathbf{v}_{\mathbf{1 f}} (m/s) \mathbf{t}_{2 f} (s) \mathbf{v}_{\mathbf{2 f}} (m/s)
210,4 210,69 0,0185 0 0,0185 0 0,0186
210,4 250,69 0,0176 0 0,2358 0,2182 0,0187
210,4 270,69 0,0174 0 0,1567 0,1393 0,0189
210,4 290,69 0,0149 0 0,1103 0,0954 0,0189
210,4 310,69 0,0206 0 0,1203 0,0997 0,0222
210,4 330,69 0,0105 0 0,064 0,0535 0,0165
210,4 350,69 0,0142 0 0,0782 0,064 0,0198

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, para os ensaios descritos na tabela, se se conserva o momento linear e se se conserva a energia cinética; e, com isso, decidir se a colisão é elástica ou inelástica. Dados relevantes fornecidos (peguei-os da tabela e do enunciado):
  • Largura da bandeirola: \,L=11{,}00\\ \mathrm{mm}=0{,}011{\,}\mathrm{m}. (dado do enunciado)
  • Massa do flutuador 1: \,M_1=210{,}4\\ \mathrm{g}=0{,}2104\\ \mathrm{kg}. (dado da tabela)
  • Para cada ensaio temos a massa do flutuador 2 \,M_2 (em g na tabela) e os tempos medidos: \,t_{1i} (passagem do flutuador 1 antes da colisão), \,t_{1f} (passagem do flutuador 1 depois da colisão) e \,t_{2f} (passagem do flutuador 2 depois da colisão). (dados da tabela)
  • O flutuador 2 estava inicialmente em repouso, então \,v_{2i}=0. (dado do enunciado)
  • Observação importante: a tabela tem uma primeira linha com \,t_{1f}=0 (primeiro ensaio) — esse ensaio não permite calcular v_{1f} e portanto não é utilizável para verificar conservação; vou excluir esse ensaio das análises quantitativas. (identifiquei essa falta de dado na tabela)
Perguntas a responder:
a) Verificar conservação do momento linear (comparar p_i e p_f).
b) Verificar conservação da energia cinética (comparar K_i e K_f).
c) Concluir se a colisão é elástica ou inelástica.

Passo 2

Como transformar as medições em velocidades — a regra e a conversão de unidades.
  • Cada tempo \,t mede o intervalo durante o qual a bandeirola de largura \,L passa pelo cronômetro. A velocidade média do flutuador naquele instante (magnitude) é
v=\frac{L}{t}.
Aqui \,L está em metros e \,t em segundos, então v sai em \mathrm{m/s}.
  • Convertemos massas de gramas para quilogramas:
M\\ (\mathrm{kg}) = \frac{M\\ (\mathrm{g})}{1000}.
Vou calcular uma vez, bem explicado, para um ensaio e depois aplicar o mesmo procedimento para todos os demais. Tomarei como exemplo o segundo ensaio (primeiro utilizável na tabela): \,M_2=250{,}69\\ \mathrm{g}, \,t_{1i}=0{,}0176\\ \mathrm{s}, \,t_{1f}=0{,}2182\\ \mathrm{s}, \,t_{2f}=0{,}0187\\ \mathrm{s}.
Cálculos do exemplo:
  • \,M_1=0{,}2104\\ \mathrm{kg}, \,M_2=0{,}25069\\ \mathrm{kg}.
  • \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0176}=0{,}625\\ \mathrm{m/s}.
  • \,v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}2182}=0{,}0504049\\ \mathrm{m/s} (esta é a magnitude; vou discutir o sinal depois).
  • \,v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0187}=0{,}5882353\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar todas as velocidades (módulos) \,v_{1i},\,v_{1f},\,v_{2f} para os ensaios 2 a 7 usando \,L=0{,}011\\ \mathrm{m}. (Excluí o ensaio 1 por falta de t_{1f}.)
Resultados (arredondados a 3 casas decimais quando apropriado):
  • Ensaio 2 ( M_2=250{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=0{,}625\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=0{,}050405\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=0{,}588235\\ \mathrm{m/s}.
  • Ensaio 3 ( M_2=270{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0174}=0{,}632184\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}1393}=0{,}078968\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0189}=0{,}581005\\ \mathrm{m/s}.
  • Ensaio 4 ( M_2=290{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0149}=0{,}738258\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0954}=0{,}115302\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0189}=0{,}581005\\ \mathrm{m/s}.
  • Ensaio 5 ( M_2=310{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0206}=0{,}533981\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0997}=0{,}110331\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0222}=0{,}495495\\ \mathrm{m/s}.
  • Ensaio 6 ( M_2=330{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0105}=1{,}047619\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0535}=0{,}205608\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0165}=0{,}666667\\ \mathrm{m/s}.
  • Ensaio 7 ( M_2=350{,}69\\ \mathrm{g}):
    \,v_{1i}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0142}=0{,}774648\\ \mathrm{m/s},\quad v_{1f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}064}=0{,}171875\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=\dfrac{0{,}011}{0{,}0198}=0{,}555556\\ \mathrm{m/s}.
(Os cálculos acima seguem a mesma fórmula do Passo 2; eu apenas apliquei a todas as linhas utilizáveis.)

Passo 4

Sinal das velocidades — convenção e justificativa.
  • Escolho a direção do movimento inicial de M_1 como positiva. Assim \,v_{1i}>0.
  • O flutuador 2 estava inicialmente em repouso: \,v_{2i}=0.
  • Após a colisão, observa-se que o flutuador 2 sai para frente (tem velocidade positiva v_{2f}>0); frequentemente o flutuador 1 rebate para trás (isto é, move-se na direção contrária à original). As medições de tempo fornecem só o módulo da velocidade; o sinal (direção) deve ser inferido fisicamente. Se o flutuador 2 tomou velocidade para frente e M_1 rebate, então o vetor velocidade de M_1 após a colisão é negativa: \,v_{1f}=-|v_{1f}|.
  • Vou usar essa convenção ( v_{1f} com sinal negativo quando parecer que o flutuador 1 rebateu). Isso é essencial para a verificação do momento linear, pois momento é grandeza vetorial.

Passo 5

Fórmulas de momento e critérios de verificação.
  • Momento linear de um corpo: \,p=m v.
  • Momento total inicial do sistema:
p_i=M_1 v_{1i}+M_2 v_{2i}=M_1 v_{1i}\quad(\text{pois }v_{2i}=0).
  • Momento total final:
p_f=M_1 v_{1f}+M_2 v_{2f},
onde, conforme Passo 4, uso v_{1f} com sinal (tipicamente negativo quando houver rebate).
  • Critério: comparar numericamente p_i e p_f. Uma diferença pequena (dentro de erros experimentais) indica conservação do momento linear.
Agora calculo p_i e p_f para cada ensaio (2 a 7). Mostro valor e percentagem de diferença relativa definida por
\%\Delta p = \frac{p_f-p_i}{p_i}\times 100\%.
Cálculos (valores em \mathrm{kg\cdot m/s}, arredondados):
  • Ensaio 2:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 0{,}625=0{,}131500.
    \,p_f=0{,}2104\cdot(-0{,}050405)+0{,}25069\cdot 0{,}588235= -0{,}010607+0{,}147170=0{,}136563.
    \%\Delta p \approx 3{,}85\%.
  • Ensaio 3:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 0{,}632184=0{,}133011.
    \,p_f=-0{,}2104\cdot 0{,}078968+0{,}27069\cdot 0{,}581005= -0{,}016609+0{,}157332=0{,}140723.
    \%\Delta p \approx 5{,}82\%.
  • Ensaio 4:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 0{,}738258=0{,}155293.
    \,p_f=-0{,}2104\cdot 0{,}115302+0{,}29069\cdot 0{,}581005= -0{,}024260+0{,}168873=0{,}144613.
    \%\Delta p \approx -6{,}88\%.
  • Ensaio 5:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 0{,}533981=0{,}112496.
    \,p_f=-0{,}2104\cdot 0{,}110331+0{,}31069\cdot 0{,}495495= -0{,}023206+0{,}154010=0{,}130804.
    \%\Delta p \approx 16{,}31\%.
  • Ensaio 6:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 1{,}047619=0{,}220842.
    \,p_f=-0{,}2104\cdot 0{,}205608+0{,}33069\cdot 0{,}666667= -0{,}043274+0{,}220461=0{,}177187.
    \%\Delta p \approx -19{,}77\%.
  • Ensaio 7:
    \,p_i=0{,}2104\cdot 0{,}774648=0{,}162964.
    \,p_f=-0{,}2104\cdot 0{,}171875+0{,}35069\cdot 0{,}555556= -0{,}036170+0{,}194827=0{,}158657.
    \%\Delta p \approx -2{,}64\%.
Interpretando: os valores de \%\Delta p variam entre cerca de -20\% e +16\%; a média aritmética dos valores absolutos para os ensaios 2–7 é aproximadamente 9{,}2\%. Em muitos ensaios (2,3,4,7) a diferença relativa está na faixa de alguns por cento até ~7% — compatível com erros experimentais de janela/tempo, atrito residual, perda de bandeirola, etc. Alguns ensaios (5 e 6) mostram discrepâncias maiores, possivelmente outliers por erro experimental.
Conclusão intercalar: considerando a média e a maioria dos ensaios, o momento linear aparece aproximadamente conservado dentro de erros experimentais razoáveis.

Passo 6

Fórmula e verificação da energia cinética.
  • Energia cinética de um corpo: \,K=\dfrac{1}{2} m v^2.
  • Energia cinética inicial do sistema:
K_i=\tfrac{1}{2}M_1 v_{1i}^2+\tfrac{1}{2}M_2 v_{2i}^2=\tfrac{1}{2}M_1 v_{1i}^2\quad(\text{pois }v_{2i}=0).
  • Energia cinética final:
K_f=\tfrac{1}{2}M_1 v_{1f}^2+\tfrac{1}{2}M_2 v_{2f}^2,
onde usamos os módulos das velocidades (energia não depende do sinal).
Calculo K_i, K_f e a variação percentual
\%\Delta K=\frac{K_f-K_i}{K_i}\times 100\%.
Cálculos (valores em joules, arredondados):
  • Ensaio 2:
    \,K_i=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}2104\cdot (0{,}625)^2=0{,}0410938\\ \mathrm{J}.
    \,K_f=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}2104\cdot(0{,}050405)^2+\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}25069\cdot(0{,}588235)^2=0{,}0434635\\ \mathrm{J}.
    \%\Delta K\approx +5{,}77\% (pequeno aumento — provavelmente devido a erro experimental).
  • Ensaio 3:
    \,K_i=0{,}042052\\ \mathrm{J},\quad K_f=0{,}046360\\ \mathrm{J},\quad \%\Delta K\approx +10{,}25\%.
  • Ensaio 4:
    \,K_i=0{,}057283\\ \mathrm{J},\quad K_f=0{,}050435\\ \mathrm{J},\quad \%\Delta K\approx -11{,}93\%.
  • Ensaio 5:
    \,K_i=0{,}029998\\ \mathrm{J},\quad K_f=0{,}039399\\ \mathrm{J},\quad \%\Delta K\approx +31{,}34\%.
  • Ensaio 6:
    \,K_i=0{,}115378\\ \mathrm{J},\quad K_f=0{,}077934\\ \mathrm{J},\quad \%\Delta K\approx -32{,}45\%.
  • Ensaio 7:
    \,K_i=0{,}063029\\ \mathrm{J},\quad K_f=0{,}057242\\ \mathrm{J},\quad \%\Delta K\approx -9{,}19\%.
Observação: as variações em energia cinética oscilam bastante — alguns ensaios mostram pequeno aumento, outros mostram grandes perdas (até ~32%). Em experimentos reais com flutuadores existem várias fontes de perda/erro: atrito residual do trilho, colisões que não são perfeitamente centradas, deformações elásticas internas, desvios na medição dos tempos (pequenos erros de tempo geram grandes erros em velocidade quando t é pequeno), vibrações, e também possíveis problemas com as bandeirolas (posicionamento). Portanto as medidas de energia cinética são mais sensíveis e tipicamente menos confiáveis que a soma de momentos.
Conclusão intercalar: não há conservação clara e sistemática da energia cinética; em vários ensaios ocorre perda apreciável de energia.

Passo 7

Conclusão física final (elástica vs inelástica) e justificativa didática.
  • Definição rápida: colisão elástica é aquela que conserva tanto o momento linear quanto a energia cinética. Colisão inelástica conserva momento mas não conserva energia cinética (parte da energia cinética é transformada em outras formas).
  • Dos cálculos:
    • O momento total p mostrou-se aproximadamente conservado na maioria dos ensaios (diferenças relativas típicas da ordem de poucos por cento a ~10% e média absoluta ≈ 9{,}2\%); isso é compatível com conservação do momento dentro do erro experimental razoável.
    • A energia cinética K não se conserva de forma consistente; várias medições indicam perdas significativas de energia (até ~30%), embora algumas mostrem aumento aparente (provavelmente ruído/erro experimental).
  • Conclusão física: a colisão é, nos dados experimentais, essencialmente inelástica — isto é, não conserva a energia cinética, embora conserve (aproximadamente) o momento linear.

Passo 8

Comentário final prático (dicas para prova / como fazer rápido):
  • Sempre comece convertendo massas para quilogramas e L para metros.
  • Velocidade a partir do cronômetro: v=L/t. Cuidado com tempos pequenos (a incerteza relativa em v cresce).
  • Use sinal negativo para v_{1f} se há indício de rebate. Verifique direção do segundo corpo: se v_{2f}>0 e o primeiro parece ter ido para trás, então v_{1f}<0.
  • Verifique conservação do momento comparando p_i e p_f; calcule porcentagem de diferença para justificar “dentro do erro experimental”.
  • Para energia cinética calcule K_i e K_f; diferenças grandes implicam colisão inelástica.
  • Em prova, faça um ensaio (uma linha de cálculo) completo e depois aplique o mesmo procedimento às demais linhas de dados, apresentando percentuais de discrepância.

Resposta

a) O momento linear é, em média, aproximadamente conservado dentro dos erros experimentais (diferenças relativas típicas ~9% média absoluta; a maioria dos ensaios tem discrepâncias pequenas, alguns são outliers).
b) A energia cinética não é conservada de forma consistente (variações percentuais grandes em vários ensaios, perdas significativas em vários casos).
c) A colisão é, pelos dados experimentais, inelástica (momento aproximadamente conservado; energia cinética não conservada).

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