Como a luz viaja a uma velocidade constante
em um meio (no vácuo,
), podemos descrever a luz tanto pela sua frequência
quanto pelo seu comprimento de onda
. Da mesma forma, podemos expressar o espectro de potência por unidade de área em termos de frequência
ou comprimento de onda
.
(a) A partir de
(o sinal negativo indica que um aumento em
corresponde a uma diminuição em
, e vice-versa), mostre que
.
(b) Dado que
, mostre que a constante de Stefan
na lei de StefanBoltzmann
é igual a
. (Use a identidade
.)
(c) A partir dos itens (a) e (b), mostre que
.
(d) A constante
na lei do deslocamento de Wien
pode ser obtida resolvendo
para determinar o valor de
correspondente ao máximo de
. Mostre que isso corresponde a resolver a equação
para
.
(e) Resolver
a partir de
leva à lei do deslocamento de Wien:
. Suponha que medimos a constante de Wien e a constante de Stefan como sendo
e
respectivamente. Determine a constante de Boltzmann
e a constante de Planck
.
(a) A partir de
(b) Dado que
(c) A partir dos itens (a) e (b), mostre que
(d) A constante
(e) Resolver
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre as duas formas do espectro (em frequência e em comprimento de onda) e pede várias deduções. Em resumo, temos as seguintes perguntas e informações dadas:
-
Dados importantes:e a relação diferencial entre espectros:Também é dada a forma do espectro em frequência:E a identidade integral:
-
Perguntas:
(a) A partir de, mostrar que .
(b) Usandodada, mostrar que a constante de Stefan da lei é (c) A partir de (a) e (b), mostrar que(d) Mostrar que a condiçãopara máximo leva à equação (e) Usando a lei de Wiene , determinar e .
Passo 2
(a) Vamos relacionar os diferenciais
e
a partir de
. Primeiro escrevemos
como função de
:
Agora derivamos ambos os lados em relação a
para obter
. Isso é cálculo diferencial básico: se
, então
Portanto o diferencial é
Substituímos esse resultado na relação dada
:
Cancelamos o sinal negativo e o
(assumindo
), obtendo
como pedido.
Passo 3
(b) Queremos integrar
sobre todas as frequências para obter o fluxo total
e identificar
em
. A expressão dada é
A energia total por unidade de área e tempo é
Para integrar, fazemos a mudança de variável usual que transforma a dependência em temperatura em fator separado: definimos
Substituindo na integral:
Agora fatoramos as constantes:
Usamos a identidade fornecida
logo
Comparando com
, obtemos a constante de Stefan:
como solicitado.
Passo 4
(c) Agora vamos obter
usando a relação do item (a) e substituindo
. Partimos de
e da expressão em frequência
Substituímos
e obtemos
Agora simplificamos as potências de
e de
:
Reescrevendo de forma que fique idêntica ao enunciado:
que é exatamente o que se pedia.
Passo 5
(d) Desejamos achar a condição para o máximo de
: resolver
. Escrevemos
como
onde
é constante e definimos
Aplicamos a regra do quociente para derivar
. Seja
e
. Temos
Calculamos
. Como
, obtemos
Logo
A derivada de
é
No numerador simplificamos fatores
:
Para
ter extremo não trivial, precisamos do numerador igual a zero (o denominador não é zero para
), portanto
Dividindo por
(positivo) obtemos
ou, reorganizando,
Voltando à variável original
, temos exatamente
como requerido.
Passo 6
(e) O enunciado afirma que a solução numérica dessa equação dá a lei de Wien
Definimos a constante
tal que
. Assim,
Queremos determinar
e
a partir dos valores experimentais de
e de
. Temos duas equações conhecidas:
Da equação (1) isolamos a razão
:
Chamemos essa razão de
, ou seja
Agora substituímos
na equação (2):
Dessa expressão isolamos
:
Em seguida obtemos
por
.
Agora fazemos os cálculos numéricos com os valores fornecidos:
Primeiro calculemos
:
Agora calculemos
:
Calculemos então
:
Avaliação numérica passo a passo (mostrando os principais passos):
Assim
Finalmente