Como a luz viaja a uma velocidade constante c=\nu \lambda em um meio (no vácuo, c= 2,998 \times 10^{8} \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} ), podemos descrever a luz tanto pela sua frequência \nu quanto pelo seu comprimento de onda \lambda. Da mesma forma, podemos expressar o espectro de potência por unidade de área em termos de frequência \mathcal{R}_{\nu} d \nu ou comprimento de onda \mathcal{R}_{\lambda} d \lambda.
(a) A partir de \mathcal{R}_{\nu} d \nu=-\mathcal{R}_{\lambda} d \lambda (o sinal negativo indica que um aumento em \nu corresponde a uma diminuição em \lambda, e vice-versa), mostre que \mathcal{R}_{\lambda}=\frac{c}{\lambda^{2}} \mathcal{R}_{\nu}.
(b) Dado que \mathcal{R}_{\nu}=\frac{2 \pi \nu^{2}}{c^{2}} \frac{h \nu}{e^{\frac{h \nu}{k T}}-1}, mostre que a constante de Stefan \sigma na lei de StefanBoltzmann R=\sigma T^{4} é igual a \frac{2 \pi^{5} k^{4}}{15 c^{2} h^{3}}. (Use a identidade \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1} d x=\frac{\pi^{4}}{15}.)
(c) A partir dos itens (a) e (b), mostre que R_{\lambda}=\frac{2 \pi h c^{2}}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}}-1} \frac{1}{\lambda^{5}}.
(d) A constante b na lei do deslocamento de Wien \lambda_{m} T=b pode ser obtida resolvendo \frac{d R_{\lambda}}{d \lambda}=0 para determinar o valor de \lambda correspondente ao máximo de R_{\lambda}. Mostre que isso corresponde a resolver a equação 5\left(1-e^{-\frac{h c}{\lambda k T}}\right)-\frac{h c}{\lambda k T}=0 para \lambda.
(e) Resolver \lambda a partir de 5\left(1-e^{-\frac{h c}{\lambda k T}}\right)-\frac{h c}{\lambda k T}=0 leva à lei do deslocamento de Wien: \lambda_{m} T=0,2014 h c / k. Suponha que medimos a constante de Wien e a constante de Stefan como sendo b=2,898 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~K} e \sigma=5,6703 \times 10^{-8} \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-4} respectivamente. Determine a constante de Boltzmann k e a constante de Planck h.

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre as duas formas do espectro (em frequência e em comprimento de onda) e pede várias deduções. Em resumo, temos as seguintes perguntas e informações dadas:
  • Dados importantes:
    c=\nu\lambda,\quad c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}
    e a relação diferencial entre espectros:
    \mathcal{R}_{\nu}\,d\nu = -\mathcal{R}_{\lambda}\,d\lambda.
    Também é dada a forma do espectro em frequência:
    \mathcal{R}_{\nu}=\frac{2\pi\nu^{2}}{c^{2}}\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}.
    E a identidade integral:
    \int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx=\frac{\pi^{4}}{15}.
  • Perguntas:
    (a) A partir de \mathcal{R}_{\nu}\,d\nu=-\mathcal{R}_{\lambda}\,d\lambda, mostrar que \mathcal{R}_{\lambda}=\dfrac{c}{\lambda^{2}}\mathcal{R}_{\nu}.
    (b) Usando \mathcal{R}_{\nu} dada, mostrar que a constante de Stefan \sigma da lei R=\sigma T^{4} é
    \sigma=\frac{2\pi^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}.
    (c) A partir de (a) e (b), mostrar que
    R_{\lambda}=\frac{2\pi h c^{2}}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\frac{1}{\lambda^{5}}.
    (d) Mostrar que a condição \dfrac{dR_{\lambda}}{d\lambda}=0 para máximo leva à equação
    5\!\left(1-e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}\right)-\frac{hc}{\lambda kT}=0.
    (e) Usando a lei de Wien \lambda_{m}T=b=2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K} e \sigma=5{,}6703\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}, determinar k e h.

Passo 2

(a) Vamos relacionar os diferenciais \,d\nu e \,d\lambda a partir de c=\nu\lambda. Primeiro escrevemos \nu como função de \lambda:
\nu=\frac{c}{\lambda}.
Agora derivamos ambos os lados em relação a \lambda para obter d\nu/d\lambda. Isso é cálculo diferencial básico: se \nu(\lambda)=c\lambda^{-1}, então
\frac{d\nu}{d\lambda} = -\frac{c}{\lambda^{2}}.
Portanto o diferencial é
d\nu = -\frac{c}{\lambda^{2}}\,d\lambda.
Substituímos esse resultado na relação dada \mathcal{R}_{\nu}\,d\nu = -\mathcal{R}_{\lambda}\,d\lambda:
\mathcal{R}_{\nu}\left(-\frac{c}{\lambda^{2}}\,d\lambda\right) = -\mathcal{R}_{\lambda}\,d\lambda.
Cancelamos o sinal negativo e o d\lambda (assumindo d\lambda\neq0), obtendo
\mathcal{R}_{\lambda}=\frac{c}{\lambda^{2}}\mathcal{R}_{\nu},
como pedido.

Passo 3

(b) Queremos integrar \mathcal{R}_{\nu} sobre todas as frequências para obter o fluxo total R e identificar \sigma em R=\sigma T^{4}. A expressão dada é
\mathcal{R}_{\nu}=\frac{2\pi\nu^{2}}{c^{2}}\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}=\frac{2\pi h\nu^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1\right)}.
A energia total por unidade de área e tempo é
R=\int_{0}^{\infty}\mathcal{R}_{\nu}\,d\nu =\int_{0}^{\infty}\frac{2\pi h\nu^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1\right)}\,d\nu.
Para integrar, fazemos a mudança de variável usual que transforma a dependência em temperatura em fator separado: definimos
x=\frac{h\nu}{kT}\quad\Rightarrow\quad \nu=\frac{kT}{h}x,\quad d\nu=\frac{kT}{h}\,dx.
Substituindo na integral:
R=\frac{2\pi h}{c^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{\left(\frac{kT}{h}x\right)^{3}}{e^{x}-1}\cdot\frac{kT}{h}\,dx.
Agora fatoramos as constantes:
R=\frac{2\pi h}{c^{2}}\cdot\frac{(kT)^{4}}{h^{4}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx =\frac{2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.
Usamos a identidade fornecida
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx=\frac{\pi^{4}}{15},
logo
R=\frac{2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}\cdot\frac{\pi^{4}}{15} =\left(\frac{2\pi^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}\right)T^{4}.
Comparando com R=\sigma T^{4}, obtemos a constante de Stefan:
\sigma=\frac{2\pi^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}},
como solicitado.

Passo 4

(c) Agora vamos obter R_{\lambda} usando a relação do item (a) e substituindo \nu=c/\lambda. Partimos de
\mathcal{R}_{\lambda}=\frac{c}{\lambda^{2}}\mathcal{R}_{\nu}
e da expressão em frequência
\mathcal{R}_{\nu}=\frac{2\pi h\nu^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1\right)}.
Substituímos \nu=\dfrac{c}{\lambda} e obtemos
\mathcal{R}_{\lambda}=\frac{c}{\lambda^{2}}\cdot\frac{2\pi h\left(\frac{c}{\lambda}\right)^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1\right)}.
Agora simplificamos as potências de c e de \lambda:
\mathcal{R}_{\lambda}=\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}\left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1\right)}.
Reescrevendo de forma que fique idêntica ao enunciado:
R_{\lambda}=\frac{2\pi h c^{2}}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\frac{1}{\lambda^{5}},
que é exatamente o que se pedia.

Passo 5

(d) Desejamos achar a condição para o máximo de R_{\lambda}: resolver \dfrac{dR_{\lambda}}{d\lambda}=0. Escrevemos R_{\lambda} como
R_{\lambda}=A\cdot\frac{\lambda^{-5}}{e^{y}-1},
onde A=2\pi h c^{2} é constante e definimos
y=\frac{hc}{\lambda kT}.
Aplicamos a regra do quociente para derivar f(\lambda)=\dfrac{\lambda^{-5}}{e^{y}-1}. Seja u(\lambda)=\lambda^{-5} e v(\lambda)=e^{y}-1. Temos
u'(\lambda)=-5\lambda^{-6},\qquad v'(\lambda)=e^{y}\frac{dy}{d\lambda}.
Calculamos dy/d\lambda. Como y=\dfrac{hc}{kT}\cdot\lambda^{-1}, obtemos
\frac{dy}{d\lambda}=-\frac{hc}{kT}\lambda^{-2} = -\frac{y}{\lambda}.
Logo
v'(\lambda)=e^{y}\left(-\frac{y}{\lambda}\right)=-\frac{y}{\lambda}e^{y}.
A derivada de f é
f'(\lambda)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{-5\lambda^{-6}(e^{y}-1)-\lambda^{-5}\left(-\frac{y}{\lambda}e^{y}\right)}{(e^{y}-1)^{2}}.
No numerador simplificamos fatores \lambda^{-6}:
\text{numerador}=\lambda^{-6}\big[-5(e^{y}-1)+y e^{y}\big].
Para R_{\lambda} ter extremo não trivial, precisamos do numerador igual a zero (o denominador não é zero para y>0), portanto
-5(e^{y}-1)+y e^{y}=0.
Dividindo por e^{y} (positivo) obtemos
-5(1-e^{-y})+y=0,
ou, reorganizando,
5\bigl(1-e^{-y}\bigr)-y=0.
Voltando à variável original y=\dfrac{hc}{\lambda kT}, temos exatamente
5\!\left(1-e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}\right)-\frac{hc}{\lambda kT}=0,
como requerido.

Passo 6

(e) O enunciado afirma que a solução numérica dessa equação dá a lei de Wien
\lambda_{m}T=0{,}2014\frac{hc}{k}.
Definimos a constante b tal que \lambda_{m}T=b. Assim,
b=0{,}2014\frac{hc}{k}.
Queremos determinar k e h a partir dos valores experimentais de b e de \sigma. Temos duas equações conhecidas:
(1)\quad b=0{,}2014\frac{hc}{k},
(2)\quad \sigma=\frac{2\pi^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}.
Da equação (1) isolamos a razão h/k:
\frac{h}{k}=\frac{b}{0{,}2014\,c}.
Chamemos essa razão de A, ou seja
A\equiv\frac{h}{k}=\frac{b}{0{,}2014\,c}.
Agora substituímos h=A k na equação (2):
\sigma=\frac{2\pi^{5}k^{4}}{15c^{2}(A k)^{3}} =\frac{2\pi^{5}k}{15c^{2}A^{3}}.
Dessa expressão isolamos k:
k=\sigma\cdot\frac{15c^{2}A^{3}}{2\pi^{5}}.
Em seguida obtemos h por h=A k.
Agora fazemos os cálculos numéricos com os valores fornecidos:
b=2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K},\qquad \sigma=5{,}6703\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}},\qquad c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Primeiro calculemos A:
A=\frac{b}{0{,}2014\,c} =\frac{2{,}898\times10^{-3}}{0{,}2014\times2{,}998\times10^{8}} \approx 4{,}799624\times10^{-11}.
Agora calculemos A^{3}:
A^{3}\approx 1{,}105660184\times10^{-31}.
Calculemos então k:
k=\sigma\cdot\frac{15c^{2}A^{3}}{2\pi^{5}}.
Avaliação numérica passo a passo (mostrando os principais passos):
c^{2}=(2{,}998\times10^{8})^{2}\approx 8{,}988004\times10^{16},
15c^{2}A^{3}\approx 1{,}490655\times10^{-13},
2\pi^{5}\approx 612{,}03936.
Assim
k\approx\frac{5{,}6703\times10^{-8}\times1{,}490655\times10^{-13}}{612{,}03936} \approx 1{,}38048\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Finalmente
h=A\,k\approx 4{,}799624\times10^{-11}\times1{,}38048\times10^{-23} \approx 6{,}62607\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Resposta

k=1{,}38048\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}
h=6{,}62607\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}

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