Dois garotos apostam uma corrida de 50 m em linha reta. Com velocidade sempre constante, o garoto A parte na frente do garoto B, que tem aceleração constante. Então, 5 segundos depois da largada, o garoto A segue 3 m na frente do B. Depois de 10 segundos, ambos estão juntos. O garoto B termina a corrida na frente, 15 segundos depois da partida. Determine as velocidade iniciais de ambos os garotos, a aceleração do garoto B e a distância entre os dois, quando o garoto B venceu a corrida.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos apresenta: Dois garotos, A e B, estão apostando uma corrida de 50 metros em linha reta. O garoto A tem uma velocidade constante e parte à frente de B, que começa com uma aceleração constante. Cinco segundos após a largada, A está 3 metros à frente de B. Depois de 10 segundos, ambos estão juntos, e após 15 segundos, B vence a corrida. Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Precisamos determinar as velocidades iniciais de A e B, a aceleração de B e a distância entre eles no momento em que B vence a corrida.

Passo 2

Vamos definir as variáveis:
  • $ v_A $: velocidade do garoto A (constante).
  • $ v_{B0} $: velocidade inicial do garoto B.
  • $ a_B $: aceleração do garoto B.
Como A tem velocidade constante, sua posição em qualquer instante $ t $ é dada por:
vA
Já o garoto B tem aceleração constante, então sua posição é:
vB0

Passo 3

No tempo $ t = 5 $ segundos, o garoto A está 3 metros à frente de B. Isso significa:
t = 5
Substituindo as expressões das posições:
xA(5) = xB(5) + 3
Simplificando:
vA cdot 5 = vB0 cdot 5 + 12 aB cdot 5^2 + 3
5vA = 5vB0 + 252 aB + 3
5vA - 5vB0 - 252aB = 3
(Equação 1)

Passo 4

No tempo $ t = 10 $ segundos, ambos estão juntos, ou seja:
t = 10
Substituindo:
xA(10) = xB(10)
Simplificando:
vA cdot 10 = vB0 cdot 10 + 12 aB cdot 10^2
10vA = 10vB0 + 50aB
(Equação 2)

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações:
  1. $ v_A - v_{B0} - \frac{5}{2}a_B = \frac{3}{5} $
  2. $ v_A - v_{B0} - 5a_B = 0 $
Podemos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
vA - vB0 - 52aB = 35
vA - vB0 - 5aB = 0
(vA - vB0 - 5aB) - (vA - vB0 - 52aB) = 0 - 35
-52aB = -35
aB = 35 div 52

Passo 6

Agora que temos $ a_B = \frac{6}{25} , m/s^2 $, substituímos na Equação 2 para encontrar a diferença entre $ v_A $ e $ v_{B0} $:
aB = 625 , m/s^2
vA
vB0
vA - vB0 - 5 ( 625 ) = 0

Passo 7

Para encontrar valores individuais de $ v_A $ e $ v_{B0} $, precisamos de mais informações. Sabemos que no tempo total da corrida, $ t = 15 $ segundos, a posição de B é 50 metros (a chegada). Então:
vA
Calculando:
vB0
t = 15
xB(15) = vB0 cdot 15 + 12 cdot 625 cdot 15^2 = 50
15vB0 + 12 cdot 625 cdot 225 = 50
15vB0 + 325 cdot 225 = 50

Passo 8

Agora que temos $ v_{B0} = \frac{23}{15} , m/s $, usamos a relação $ v_A - v_{B0} = \frac{6}{5} $ para encontrar $ v_A $:
vB0 = 2315 , m/s
vA - vB0 = 65
vA

Passo 9

Agora, precisamos determinar a distância entre A e B quando B vence a corrida, ou seja, aos 15 segundos. Já sabemos que B chega a 50 metros.
Calculamos a posição de A aos 15 segundos:
xA(15) = vA cdot 15
xA(15) = 4115 cdot 15
xA(15) = 41 , m
Então, a distância entre A e B é:
50 , m - 41 , m = 9 , m

Resposta

As velocidades iniciais são:
  • Garoto A: $ v_A = \frac{41}{15} , m/s $ (aproximadamente 2,73 m/s)
  • Garoto B: $ v_{B0} = \frac{23}{15} , m/s $ (aproximadamente 1,53 m/s)
A aceleração do garoto B é $ a_B = \frac{6}{25} , m/s^2 $ (aproximadamente 0,24 m/s²).
A distância entre os dois ao término da corrida é de 9 metros, com o garoto B vencendo à frente.

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