Dois garotos apostam uma corrida de 50 m em linha reta. Com velocidade sempre constante, o garoto A parte na frente do garoto B, que tem aceleração constante. Então, 5 segundos depois da largada, o garoto A segue 3 m na frente do B. Depois de 10 segundos, ambos estão juntos. O garoto B termina a corrida na frente, 15 segundos depois da partida. Determine as velocidade iniciais de ambos os garotos, a aceleração do garoto B e a distância entre os dois, quando o garoto B venceu a corrida.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos apresenta: Dois garotos, A e B, estão apostando uma corrida de 50 metros em linha reta. O garoto A tem uma velocidade constante e parte à frente de B, que começa com uma aceleração constante. Cinco segundos após a largada, A está 3 metros à frente de B. Depois de 10 segundos, ambos estão juntos, e após 15 segundos, B vence a corrida. Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Precisamos determinar as velocidades iniciais de A e B, a aceleração de B e a distância entre eles no momento em que B vence a corrida.
Passo 2
Vamos definir as variáveis:
- $ v_A $: velocidade do garoto A (constante).
- $ v_{B0} $: velocidade inicial do garoto B.
- $ a_B $: aceleração do garoto B.
Como A tem velocidade constante, sua posição em qualquer instante $ t $ é dada por:
Já o garoto B tem aceleração constante, então sua posição é:
Passo 3
No tempo $ t = 5 $ segundos, o garoto A está 3 metros à frente de B. Isso significa:
Substituindo as expressões das posições:
Simplificando:
(Equação 1)
Passo 4
No tempo $ t = 10 $ segundos, ambos estão juntos, ou seja:
Substituindo:
Simplificando:
(Equação 2)
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações:
- $ v_A - v_{B0} - \frac{5}{2}a_B = \frac{3}{5} $
- $ v_A - v_{B0} - 5a_B = 0 $
Podemos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 6
Agora que temos $ a_B = \frac{6}{25} , m/s^2 $, substituímos na Equação 2 para encontrar a diferença entre $ v_A $ e $ v_{B0} $:
Passo 7
Para encontrar valores individuais de $ v_A $ e $ v_{B0} $, precisamos de mais informações. Sabemos que no tempo total da corrida, $ t = 15 $ segundos, a posição de B é 50 metros (a chegada). Então:
Calculando:
Passo 8
Agora que temos $ v_{B0} = \frac{23}{15} , m/s $, usamos a relação $ v_A - v_{B0} = \frac{6}{5} $ para encontrar $ v_A $:
Passo 9
Agora, precisamos determinar a distância entre A e B quando B vence a corrida, ou seja, aos 15 segundos. Já sabemos que B chega a 50 metros.
Calculamos a posição de A aos 15 segundos:
Então, a distância entre A e B é:
Resposta
As velocidades iniciais são:
- Garoto A: $ v_A = \frac{41}{15} , m/s $ (aproximadamente 2,73 m/s)
- Garoto B: $ v_{B0} = \frac{23}{15} , m/s $ (aproximadamente 1,53 m/s)
A aceleração do garoto B é $ a_B = \frac{6}{25} , m/s^2 $ (aproximadamente 0,24 m/s²).
A distância entre os dois ao término da corrida é de 9 metros, com o garoto B vencendo à frente.