Encontre a taxa de variação da pressão com a profundidade de um ponto que está imerso em um fluido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como a pressão muda conforme a profundidade em um ponto dentro de um fluido. Isso está relacionado ao estudo da hidrostática, que é a parte da física que analisa fluidos em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão varia com a profundidade e usar algumas fórmulas básicas de pressão em fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um ponto dentro de um fluido depende da profundidade desse ponto. A fórmula que relaciona a pressão ($ p
h $) é:
Aqui:
- $ p_0 $ é a pressão na superfície do fluido (geralmente a pressão atmosférica).
- $ \rho $ é a densidade do fluido.
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
- $ h $ é a profundidade.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação da pressão em relação à profundidade, ou seja, $ \frac{dp}{dh} $. Para isso, vamos derivar a fórmula da pressão em relação a $ h $.
Derivando ambos os lados da equação em relação a $ h $:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa derivada. Sabemos que a derivada de uma constante ($ p_0 $) é zero, e a derivada de $ \rho g h $ em relação a $ h $ é simplesmente $ \rho g $, já que $ \rho $ e $ g $ são constantes.
Então:
Resposta
A taxa de variação da pressão com a profundidade é igual ao produto da densidade do fluido ($ \rho
g $). Ou seja,