Dois gases ideais a 298 K são misturados em cilindro com pistão a 1,50 \mathrm{~atm} constante. Inicialmente há 1,00 \mathrm{~mol} de ar seco (assuma 79 \% \mathrm{~N}_{2}, 21 \% \mathrm{O}_{2} ) e injeta-se 0,50 \mathrm{~mol} de \mathrm{CO}_{2} a 298 K . (a) Frações molares finais. (b) Variação de volume total.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=298\\ \mathrm{K}.
  • Pressão constante: P=1,50\\ \mathrm{atm}.
  • Inicialmente há 1,00\\ \mathrm{mol} de ar seco, com composição percentual por mol: 79\%\\ \mathrm{N}_2 e 21\%\\ \mathrm{O}_2.
  • Injeta-se 0,50\\ \mathrm{mol} de \mathrm{CO}_2 (à mesma temperatura).
  • Não há reação química indicada; os gases misturam-se idealmente.
O enunciado pede:
(a) as frações molares finais dos componentes da mistura;
(b) a variação do volume total do cilindro devido à injeção do \mathrm{CO}_2.

Passo 2

Calcular quantidades de mols de cada componente antes e depois da injeção.
A partir do ar seco ( 1,00\\ \mathrm{mol} ):
  • Mols de \mathrm{N}_2: \displaystyle n_{\mathrm{N}_2}=0,79\times 1,00=0,79\\ \mathrm{mol}.
  • Mols de \mathrm{O}_2: \displaystyle n_{\mathrm{O}_2}=0,21\times 1,00=0,21\\ \mathrm{mol}.
Mols de \mathrm{CO}_2 adicionados:
  • \displaystyle n_{\mathrm{CO}_2}=0,50\\ \mathrm{mol}.
Mols totais finais:
n_{\text{tot}}=n_{\mathrm{N}_2}+n_{\mathrm{O}_2}+n_{\mathrm{CO}_2}=0,79+0,21+0,50=1,50\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Definição e cálculo das frações molares.
A fração molar de uma espécie i é dada por
x_i=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}},
onde n_i é o número de mols da espécie i e n_{\text{tot}} é o número total de mols da mistura.
Aplicando para cada componente:
x_{\mathrm{N}_2}=\frac{0,79}{1,50},\qquad x_{\mathrm{O}_2}=\frac{0,21}{1,50},\qquad x_{\mathrm{CO}_2}=\frac{0,50}{1,50}.

Passo 4

Avaliar numericamente as frações molares (mostrando as contas passo a passo).
Calcular cada divisão:
x_{\mathrm{N}_2}=\frac{0,79}{1,50}=0,526\overline{6}\approx 0,5267,
x_{\mathrm{O}_2}=\frac{0,21}{1,50}=0,14,
x_{\mathrm{CO}_2}=\frac{0,50}{1,50}=0,333\overline{3}\approx 0,3333.
(Arredondei para quatro casas decimais quando repetição infinita aparece; para \,0,14 duas casas já expressam exatamente o valor.)

Passo 5

Entender como o volume muda a pressão e temperatura constantes: lei dos gases ideais.
A equação dos gases ideais é
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta.
Se P e T são constantes, V é proporcional a n:
V=\frac{nRT}{P}\quad\Rightarrow\quad \Delta V=(n_{\!f}-n_{\!i})\frac{RT}{P}.
Aqui n_i é o número de mols inicial ( 1,00\\ \mathrm{mol}) e n_f o número final ( 1,50\\ \mathrm{mol}). A variação de moles é \Delta n=n_f-n_i=0,50\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular numericamente a variação de volume. Usarei R na unidade \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}:
R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Primeiro calcular RT:
RT=0,082057\times 298=24,452986\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}.
Então RT/P é
\frac{RT}{P}=\frac{24,452986}{1,50}=16,301991\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Agora a variação de volume:
\Delta V=\Delta n\cdot\frac{RT}{P}=0,50\times 16,301991=8,1509955\\ \mathrm{L}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
\Delta V\approx 8,15\\ \mathrm{L}.
Se preferir em metros cúbicos:
\Delta V\approx 8,15\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}=8,15\\ \mathrm{L}=0,00815\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

(Mais um rápido cheque numérico mostrando volumes inicial e final, para fixar a ideia.)
Volume inicial:
V_i=\frac{n_iRT}{P}=1,00\times 16,301991=16,301991\\ \mathrm{L}\approx 16,30\\ \mathrm{L}.
Volume final:
V_f=\frac{n_fRT}{P}=1,50\times 16,301991=24,452986\\ \mathrm{L}\approx 24,45\\ \mathrm{L}.
Confere que \Delta V=V_f-V_i\approx 24,45-16,30=8,15\\ \mathrm{L}, igual ao calculado antes.

Resposta

(a) x_{\mathrm{N}_2}=0,5267
(a) x_{\mathrm{O}_2}=0,1400
(a) x_{\mathrm{CO}_2}=0,3333
(b) \Delta V\approx 8,15\\ \mathrm{L} (ou \,0,00815\\ \mathrm{m^3})

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