Questão 3. Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 240 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 20 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual a quatro vezes a velocidade. Determine a velocidade do bote em t=30 segundos. (Use e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}, para x \approx 0.)
b) 4 metros por segundo.
d) 6 metros por segundo.
e) 5 metros por segundo.
f) 1 metro por segundo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do texto da questão; as alternativas listadas foram retiradas da imagem):
  • A massa total do bote mais o tripulante é 240\\ \text{kg}.
  • O sistema está inicialmente em repouso: v(0)=0.
  • A força constante do motor tem módulo 20\\ \text{N}.
  • A resistência da água tem módulo igual a quatro vezes a velocidade: F_{\text{res}}=4\,v (em newtons, quando v está em \text{m/s}).
  • Pede-se: determinar a velocidade do bote em t=30\\ \text{s}.
  • Alternativas visíveis na imagem:
    b)\\\ 4\\ \text{m/s}, d)\\\ 6\\ \text{m/s}, e)\\\ 5\\ \text{m/s}, f)\\\ 1\\ \text{m/s}.

Passo 2

Modelagem física (leis que vamos usar). Pelo segundo princípio de Newton, a soma das forças na direção do movimento produz a massa vezes a aceleração:
m\frac{dv}{dt}=F_{\text{motor}}-F_{\text{res}}.
Substituindo os dados: m=240, F_{\text{motor}}=20 e F_{\text{res}}=4v. Portanto a equação diferencial que descreve v(t) é
240\frac{dv}{dt}=20-4v.
Aqui cada termo significa:
  • 240\frac{dv}{dt} é a massa vezes a aceleração (força resultante necessária para mudar a velocidade).
  • 20 é a força motora constante para frente.
  • 4v é a força de resistência para trás, proporcional à velocidade.

Passo 3

Simplificar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por 240:
\frac{dv}{dt}+\frac{4}{240}v=\frac{20}{240}.
Calculemos os coeficientes:
\frac{4}{240}=\frac{1}{60},\qquad \frac{20}{240}=\frac{1}{12}.
Assim a equação fica
\frac{dv}{dt}+\frac{1}{60}v=\frac{1}{12}.
Observação importante (conceito): \frac{1}{60} é o coeficiente que define a rapidez com que a velocidade se aproxima do regime permanente; o tempo característico (constante de tempo) é
\tau=\frac{1}{(1/60)}=60\\ \text{s},
e a velocidade de regime permanente (quando t\to\infty) é a solução estacionária obtida impondo \frac{dv}{dt}=0:
v_{\infty}=\frac{1/12}{1/60}=\frac{60}{12}=5\\ \text{m/s}.
Interpretação física: sem resistência atingiria aceleração lenta; com resistência proporcional à velocidade, a velocidade tende para 5\\ \text{m/s} a longo prazo.

Passo 4

Resolver a equação diferencial (método do fator integrante). A equação é
\frac{dv}{dt}+\frac{1}{60}v=\frac{1}{12}.
O fator integrante é e^{\int (1/60)\,dt}=e^{t/60}. Multiplicando ambos os lados:
e^{t/60}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{60}e^{t/60}v=\frac{1}{12}e^{t/60}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/60}v\bigr)=\frac{1}{12}e^{t/60}.
Integrando de 0 a t e usando v(0)=0:
e^{t/60}v(t)-e^{0}v(0)=\frac{1}{12}\int_{0}^{t}e^{s/60}\,ds.
Como v(0)=0 e \int_{0}^{t}e^{s/60}\,ds=60\bigl(e^{t/60}-1\bigr), obtemos
e^{t/60}v(t)=\frac{1}{12}\cdot 60\bigl(e^{t/60}-1\bigr)=5\bigl(e^{t/60}-1\bigr).
Isolando v(t):
v(t)=5\bigl(1-e^{-t/60}\bigr).
Comentário didático: essa forma deixa clara a evolução no tempo — parte de 0 e cresce exponencialmente até 5\\ \text{m/s} com constante de tempo \tau=60\\ \text{s}.

Passo 5

Aplicar t=30\\ \text{s}. Substituindo em v(t):
v(30)=5\bigl(1-e^{-30/60}\bigr)=5\bigl(1-e^{-1/2}\bigr).
Agora usamos a aproximação pedida: para x\approx 0,
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}.
Tomamos x=-\tfrac{1}{2}. Calculemos passo a passo:
e^{-1/2}\approx 1+\left(-\tfrac{1}{2}\right)+\frac{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}{2} =1-\tfrac{1}{2}+\frac{\tfrac{1}{4}}{2} =1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}.
Agora em números:
1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}=1-0,5+0,125=0,625.

Passo 6

Com esse valor aproximado de e^{-1/2} obtemos
v(30)\approx 5\bigl(1-0,625\bigr)=5\cdot 0,375=1,875\\ \text{m/s}.
Observação amiga: usando a exponencial verdadeira e^{-1/2}\approx0,60653 daria v(30)\approx1,967\\ \text{m/s}. A aproximação em série com dois termos quadráticos nos deu 1,875\\ \text{m/s}, que é uma boa aproximação consistente com a instrução da questão.

Resposta

1,875\\ \text{m/s}

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