Questão 3. Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 240 quilogramas e estava inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 20 newtons, na direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em módulo, igual a quatro vezes a velocidade. Determine a velocidade do bote em
segundos. (Use
, para
.)
b) 4 metros por segundo.
d) 6 metros por segundo.
e) 5 metros por segundo.
f) 1 metro por segundo.
b) 4 metros por segundo.
d) 6 metros por segundo.
e) 5 metros por segundo.
f) 1 metro por segundo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do texto da questão; as alternativas listadas foram retiradas da imagem):
- A massa total do bote mais o tripulante é
. - O sistema está inicialmente em repouso:
. - A força constante do motor tem módulo
. - A resistência da água tem módulo igual a quatro vezes a velocidade:
(em newtons, quando está em ). - Pede-se: determinar a velocidade do bote em
. - Alternativas visíveis na imagem:
, , , .
Passo 2
Modelagem física (leis que vamos usar). Pelo segundo princípio de Newton, a soma das forças na direção do movimento produz a massa vezes a aceleração:
Substituindo os dados:
,
e
. Portanto a equação diferencial que descreve
é
Aqui cada termo significa:
-
é a massa vezes a aceleração (força resultante necessária para mudar a velocidade). -
é a força motora constante para frente. -
é a força de resistência para trás, proporcional à velocidade.
Passo 3
Simplificar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por
:
Calculemos os coeficientes:
Assim a equação fica
Observação importante (conceito):
é o coeficiente que define a rapidez com que a velocidade se aproxima do regime permanente; o tempo característico (constante de tempo) é
e a velocidade de regime permanente (quando
) é a solução estacionária obtida impondo
:
Interpretação física: sem resistência atingiria aceleração lenta; com resistência proporcional à velocidade, a velocidade tende para
a longo prazo.
Passo 4
Resolver a equação diferencial (método do fator integrante). A equação é
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integrando de
a
e usando
:
Como
e
, obtemos
Isolando
:
Comentário didático: essa forma deixa clara a evolução no tempo — parte de
e cresce exponencialmente até
com constante de tempo
.
Passo 5
Aplicar
. Substituindo em
:
Agora usamos a aproximação pedida: para
,
Tomamos
. Calculemos passo a passo:
Agora em números:
Passo 6
Com esse valor aproximado de
obtemos
Observação amiga: usando a exponencial verdadeira
daria
. A aproximação em série com dois termos quadráticos nos deu
, que é uma boa aproximação consistente com a instrução da questão.