Dois grandes recipientes A e B, do mesmo tamanho, são prenchidos com fluidos diferentes. Os fluidos nos recipientes A e B são mantidos em 0^circ C e 100^circ C, respectivamente. Uma pequena barra metálica, cuja temperatura inicial é de 100^circ C, é colacada dentro do recipiente A. Após 1 minuto a temperatura da barra é de 90^circ C. Após 2 minutos, a barra é removida e imediatamente transferida para o outro recipiente. Depois de um minuto no recipiente B a temperatura da barra sobe 10^circ C.
(i.) Determine a EDO que modela o problema planteado e determine seu tipo. Explique a forma geral de solucionar EDOs desse tipo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem dois recipientes, A e B, com líquidos a temperaturas diferentes: A tá geladinho a e B tá fervendo a . Colocaram uma barra metálica quente ( ) no recipiente A, e depois de um tempo ela esfria. A pergunta é para determinar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que modela esse processo e identificar seu tipo. Também precisamos explicar como resolver esse tipo de EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura de um objeto muda quando ele está em contato com um fluido a uma temperatura diferente. Isso geralmente é modelado pela Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente (ou do fluido com o qual ele está em contato). Matematicamente, isso é expresso por:
dTdt = -k (T - Tamb)
Onde:
  • dTdt = -k (T - 0) Rightarrow dTdt = -k T é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente (ou do fluido).
  • é a constante de proporcionalidade positiva.
  • O sinal negativo indica que se , a temperatura do objeto diminui, e vice-versa.
No nosso caso, quando a barra está no recipiente A, . Então, a EDO fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo dessa EDO. A equação:
dTdt = -k T
é uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e linear. Isso porque ela envolve a primeira derivada de dTdt + k T = 0 e pode ser escrita na forma padrão de uma EDO linear:

Passo 4

Para resolver esse tipo de EDO, que é linear e de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O passo a passo é:
  1. Escrever a EDO na forma padrão e^kt dTdt + k e^kt T = 0 . No nosso caso, ddt ( T e^kt ) = 0 e T e^kt = C .
  2. Calcular o fator integrante T(t) = C e^-kt .
  3. Multiplicar toda a EDO pelo fator integrante:
  1. Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de :
  1. Integrar ambos os lados em relação a :
  1. Resolver para :
Onde é a constante de integração que pode ser determinada pelas condições iniciais.

Resposta

A EDO que modela o problema é , sendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear. A solução geral é dada por .

Exercícios relacionados