Dois grandes recipientes
e
, do mesmo tamanho, são prenchidos com fluidos diferentes. Os fluidos nos recipientes
e
são mantidos em
e
, respectivamente. Uma pequena barra metálica, cuja temperatura inicial é de
, é colacada dentro do recipiente
. Após 1 minuto a temperatura da barra é de
. Após 2 minutos, a barra é removida e imediatamente transferida para o outro recipiente. Depois de um minuto no recipiente
a temperatura da barra sobe
.
(i.) Determine a EDO que modela o problema planteado e determine seu tipo. Explique a forma geral de solucionar EDOs desse tipo.
(i.) Determine a EDO que modela o problema planteado e determine seu tipo. Explique a forma geral de solucionar EDOs desse tipo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem dois recipientes, A e B, com líquidos a temperaturas diferentes: A tá geladinho a
e B tá fervendo a
. Colocaram uma barra metálica quente (
) no recipiente A, e depois de um tempo ela esfria. A pergunta é para determinar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que modela esse processo e identificar seu tipo. Também precisamos explicar como resolver esse tipo de EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura de um objeto muda quando ele está em contato com um fluido a uma temperatura diferente. Isso geralmente é modelado pela Lei de Resfriamento de Newton.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente (ou do fluido com o qual ele está em contato). Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente (ou do fluido). -
é a constante de proporcionalidade positiva. - O sinal negativo indica que se
, a temperatura do objeto diminui, e vice-versa.
No nosso caso, quando a barra está no recipiente A,
. Então, a EDO fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo dessa EDO. A equação:
é uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem e linear. Isso porque ela envolve a primeira derivada de
e pode ser escrita na forma padrão de uma EDO linear:
Passo 4
Para resolver esse tipo de EDO, que é linear e de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O passo a passo é:
-
Escrever a EDO na forma padrão
. No nosso caso, e . -
Calcular o fator integrante
. -
Multiplicar toda a EDO pelo fator integrante:
- Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de
:
- Integrar ambos os lados em relação a
:
- Resolver para
:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada pelas condições iniciais.
Resposta
A EDO que modela o problema é
, sendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear. A solução geral é dada por
.