Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram disolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo
libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de
.
(b.) Encontre a quantidade de libras de sal
no tanque em qualquer instante. Qual a quantidade de sal após 30 minutos?
(b.) Encontre a quantidade de libras de sal
Passo 1
O problema trata de um tanque com volume variável onde fluido com sal entra e sai, e queremos achar a quantidade de sal A(t). O conteúdo é um modelo de mistura que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar teoria de fatores integrantes para resolver.
Passo 2
Definimos A(t) como as libras de sal no tempo t e o volume do tanque como
galões. A taxa de entrada de sal é
lb/min e a de saída, pela homogeneização, é
. Assim montamos
Passo 3
Para resolver, calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, obtemos
Dividindo por
Passo 5
Finalmente, para
minutos,
Resposta
A quantidade de sal em qualquer instante é:
Após 30 minutos,