Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram disolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1 / 2 libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal / min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 4 gal / min.
(b.) Encontre a quantidade de libras de sal A(t) no tanque em qualquer instante. Qual a quantidade de sal após 30 minutos?

Passo 1

O problema trata de um tanque com volume variável onde fluido com sal entra e sai, e queremos achar a quantidade de sal A(t). O conteúdo é um modelo de mistura que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar teoria de fatores integrantes para resolver.

Passo 2

Definimos A(t) como as libras de sal no tempo t e o volume do tanque como V(t)=100+(6-4)t=100+2t galões. A taxa de entrada de sal é 6cdottfrac12=3 lb/min e a de saída, pela homogeneização, é 4cdottfracA(t)V(t). Assim montamos
dAdt=3-4A100+2t

Passo 3

Para resolver, calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral4100+2t,dtr)=expl(2ln(100+2t)r)=(100+2t)^2
Multiplicando a equação por (100+2t)^2 e integrando, temos
ddtl(A(100+2t)^2r)=3(100+2t)^2implies A(100+2t)^2=(100+2t)^32+C

Passo 4

Aplicando a condição inicial A(0)=10, obtemos
10cdot100^2=100^32+Cimplies C=-400000
Dividindo por (100+2t)^2 e simplificando, chega-se a
A(t)=100+2t2-400000(100+2t)^2=50+t-100000(50+t)^2

Passo 5

Finalmente, para t=30 minutos,
A(30)=50+30-10000080^2=80-15.625=64.375libras de sal no tanque.

Resposta

A quantidade de sal em qualquer instante é:
A(t)=50+t-100000(50+t)^2
Após 30 minutos, A(30)=64.375 libras de sal.

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