Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram disolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo
libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de
.
(c.) A função
determinada no item (b.) é única? Justifique sua resposta.
(c.) A função
Passo 1
O enunciado pergunta se a solução
obtida no item (b) é única. O conteúdo aqui é um problema de valor inicial para uma EDO de primeira ordem, onde já encontramos em (b) a expressão\
Passo 2
Vamos reescrever a EDO na forma padrão
. Temos
O volume do tanque é
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf), precisamos que
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas numa vizinhança de
Passo 4
Pelo teorema, existe exatamente uma solução passando por
nesse intervalo. Alternativamente, como a equação é linear com coeficientes contínuos em
, temos unicidade global da solução ali.
Resposta
Sim. A função
é única, pois
e
são contínuas para
, então o Teorema de Existência e Unicidade garante uma única solução para o valor inicial dado.