Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram disolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1 / 2 libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal / min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 4 gal / min.
(c.) A função A(t) determinada no item (b.) é única? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a solução A(t) obtida no item (b) é única. O conteúdo aqui é um problema de valor inicial para uma EDO de primeira ordem, onde já encontramos em (b) a expressão\
dAdt=3-4A100+2t, A(0)=10

Passo 2

Vamos reescrever a EDO na forma padrão dA/dt=f(t,A). Temos
f(t,A)=3-4100+2t,A
O volume do tanque é V(t)=100+2t, que se mantém positivo para t>-50, garantindo que não haja divisão por zero nem descontinuidade imediata.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf), precisamos que f(t,A) e sua derivada parcial em relação a A
partial fpartial A(t,A)=-4100+2t
sejam contínuas numa vizinhança de (0,10). Como ambas só têm possível problema em t=-50, elas são contínuas para todo t>-50, em particular num intervalo contendo t=0.

Passo 4

Pelo teorema, existe exatamente uma solução passando por A(0)=10 nesse intervalo. Alternativamente, como a equação é linear com coeficientes contínuos em t>-50, temos unicidade global da solução ali.

Resposta

Sim. A função A(t) é única, pois f(t,A)=3-tfrac4100+2tA e partial f/partial A são contínuas para t>-50, então o Teorema de Existência e Unicidade garante uma única solução para o valor inicial dado.

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