Para encerrar o semestre letivo, um estudante de música precisará passar por uma prova prática, a ser realizada em algum tipo de instrumento, que só será conhecido no dia da prova através de um sorteio. Sabe-se que os 4 tipos de instrumento com os quais a prova poderá ser realizada são: cordas, sopro, percussão e teclas. As probabilidades de que cada tipo de instrumento seja sorteado sāo iguais. Pelas habilidades que o estudante possui em cada tipo de instrumento, as probabilidades de ele obter a nota máxima na prova são: 90 \% se for um instrumento de cordas; 80 \% se for um instrumento de sopro; 30 \% se for um instrumento de percussão; 30 \% se for um instrumento de teclas. Qual a probabilidade de que ele tire a nota máxima nessa prova?
(A) 67,5 \%
(B) 57,5 \%
(C) 39,59 \%
(D) 68,18 \%

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o estudante obtenha a nota máxima na prova, sabendo que o tipo de instrumento é sorteado igualmente entre quatro opções. As informações fornecidas são:
  • Os tipos possíveis de instrumento são: cordas, sopro, percussão e teclas.
  • A probabilidade de cada tipo ser sorteado é igual a \dfrac{1}{4}.
  • As probabilidades condicionais de tirar nota máxima em cada tipo são:
    • cordas: 90\%,
    • sopro: 80\%,
    • percussão: 30\%,
    • teclas: 30\%.
      As perguntas: qual a probabilidade total de tirar nota máxima? Qual alternativa da prova corresponde a essa probabilidade?

Passo 2

Vamos organizar o raciocínio com notação e uma fórmula útil (explicada passo a passo). Seja o evento M = “tirar nota máxima” e sejam I_1,I_2,I_3,I_4 os eventos “sair cordas, sopro, percussão, teclas”, respectivamente. A regra que vamos usar é a fórmula da probabilidade total (ela serve para calcular a probabilidade de M quando há uma partição do espaço amostral pelos eventos I_j):
P(M)=\sum_{j=1}^{4} P(I_j)\,P(M\mid I_j).
O que isso significa, na prática:
  • P(I_j) é a probabilidade de cair o instrumento j no sorteio;
  • P(M\mid I_j) é a probabilidade de tirar nota máxima dado que o instrumento é j;
  • Multiplicamos P(I_j) por P(M\mid I_j) para obter a contribuição daquele instrumento para a probabilidade total de M;
  • Somando as contribuições de todos os instrumentos obtemos P(M).

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os números do enunciado. Como os quatro instrumentos têm probabilidade igual:
P(I_j)=\frac{1}{4}\quad\text{para }j=1,2,3,4.
As probabilidades condicionais em forma decimal são \,0{,}90,\\\ 0{,}80,\\\ 0{,}30,\\\ 0{,}30. Portanto:
P(M)=\frac{1}{4}\cdot 0{,}90+\frac{1}{4}\cdot 0{,}80+\frac{1}{4}\cdot 0{,}30+\frac{1}{4}\cdot 0{,}30.
Posso somar os termos com o mesmo denominador:
P(M)=\frac{0{,}90+0{,}80+0{,}30+0{,}30}{4}=\frac{2{,}30}{4}=0{,}575.
Convertendo para porcentagem:
P(M)=0{,}575=57{,}5\%.

Passo 4

Interpretação curta e verificação com as alternativas: a probabilidade de tirar nota máxima é 57{,}5\%, que corresponde à alternativa (B). Vai dar certo — é só aplicar a soma ponderada das probabilidades condicionais pelo sorteio igualmente provável dos instrumentos.

Resposta

(B) 57,5\%

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