Mostre que se a equiv b(bmod m) e c equiv d(bmod m), onde a, b, c, d, m são inteiros com m >= 2, então a-c equiv b-d(bmod m).

Passo 1

A questão diz que temos duas congruências módulo m: a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m). O conteúdo é teoria de congruências e vamos precisar usar a definição de congruência via divisibilidade e a propriedade de que, se m divide dois números, então m também divide sua diferença.

Passo 2

Pela definição de congruência, de a ≡ b (mod m) segue que existe um inteiro k tal que
a - b = k m,
e de c ≡ d (mod m) existe um inteiro ℓ tal que
c - d = ell m

Passo 3

Agora consideramos a diferença entre (a − c) e (b − d):
(a - c) - (b - d) = (a - b) - (c - d)

Passo 4

Substituindo as expressões acima, temos
(a - c) - (b - d) = k m - ell m = (k - ell) m,
o que mostra que m divide (a − c) − (b − d).
Pelo critério de congruência, isso implica exatamente que a − c ≡ b − d (mod m).

Resposta

a - c equiv b - d ;(bmod; m).

Exercícios relacionados