Mostre que se
e
, onde
são inteiros com
, então
.
Passo 1
A questão diz que temos duas congruências módulo m: a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m). O conteúdo é teoria de congruências e vamos precisar usar a definição de congruência via divisibilidade e a propriedade de que, se m divide dois números, então m também divide sua diferença.
Passo 2
Pela definição de congruência, de a ≡ b (mod m) segue que existe um inteiro k tal que
e de c ≡ d (mod m) existe um inteiro ℓ tal que
Passo 3
Agora consideramos a diferença entre (a − c) e (b − d):
Passo 4
Substituindo as expressões acima, temos
o que mostra que m divide (a − c) − (b − d).
Pelo critério de congruência, isso implica exatamente que a − c ≡ b − d (mod m).