Dois jogadores apostaram
10,00$ cada um em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisa ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual é a divisão justa da quantia apostada?
Passo 1
O enunciado diz que dois jogadores apostaram
cada um, formando um total de
. Combinou-se que o primeiro a alcançar 6 vitórias leva todo o dinheiro. O jogo foi interrompido quando um dos jogadores tinha
vitórias e o outro tinha
. A pergunta é: como dividir de forma justa os
entre os dois jogadores naquele momento?
Informações relevantes:
- Cada jogada é cara-ou-coroa e, portanto, cada jogada tem probabilidade
de ser ganha por um ou pelo outro (consideramos jogo justo). - Um jogador (chamarei de
) tem vitórias; o outro (chamarei de ) tem vitórias. - A vencer o jogo é o primeiro que atingir
vitórias. - Precisamos calcular a fração justa do prêmio que cada jogador tem direito no momento da interrupção, ou seja, suas probabilidades de eventualmente vencer se o jogo tivesse continuado sob as mesmas condições.
Passo 2
Entendendo o que é preciso calcular (ideia intuitiva e ferramenta usada).
- O que determina quem levaria o prêmio se o jogo continuasse é quem atinge primeiro
vitórias. - O jogador
(com vitórias) precisa de mais vitória para chegar a . - O jogador
(com vitórias) precisa de mais vitórias para chegar a . - Como cada jogada é independente e tem probabilidade
de favorecer cada jogador, podemos modelar as próximas jogadas como sequência de ensaios de Bernoulli com para ganhar cada jogada. - A ideia prática: o único modo de
vencer antes de é conseguir vitórias consecutivas nas próximas três jogadas (porque se em qualquer uma dessas três jogadas aparecer uma vitória de , atinge e o jogo para). Portanto, basta calcular a probabilidade desse evento e, em seguida, a probabilidade complementar dá a chance de vencer.
Passo 3
Explicando por que só precisamos olhar para as próximas três jogadas.
-
precisa de exatamente vitória para ganhar. Se em qualquer uma das próximas jogadas vencer, o jogo termina imediatamente com vitória de . - Para
alcançar vitórias antes de , precisa ganhar as próximas jogadas sem que ganhe nenhuma entre elas. Isso equivale a dizer que as primeiras jogadas após a interrupção têm que ser todas favoráveis a . - Logo, o evento "
vence a partida" é exatamente o evento "as próximas três jogadas são todas vitórias de ".
Passo 4
Cálculo da probabilidade de
vencer.
- Cada jogada tem probabilidade
de ser ganha por . - As jogadas são independentes, então a probabilidade de três vitórias seguidas de
é o produto das probabilidades:
Passo 5
Cálculo da probabilidade de
vencer.
- Como ou
vence ou vence (não há empate possível), a soma das probabilidades é . - Portanto,
Passo 6
Transformando probabilidades em divisão justa do prêmio.
- O prêmio total é
. - A parte justa de cada jogador é proporcional à sua probabilidade de vencer se o jogo tivesse continuado.
- Parte de
(o jogador com vitórias):
- Parte de
(o jogador com vitórias):
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- Conclusão: o jogador que estava a uma vitória de ganhar (com
) tem probabilidade muito maior de levar o pote, por isso recebe a maior parte. Você fez bem em procurar a conta: é só transformar as probabilidades em frações do prêmio. - Força nos estudos — esses problemas de probabilidade condicional e de divisão de apostas caem muito em prova e vocês já pegou a técnica essencial aqui: olhar quantas vitórias faltam para cada um e ver quais sequências futuras permitem cada desfecho.
Resposta
Jogador com
vitórias:
Jogador com vitórias:
Jogador com