Dois jogadores apostaram \mathrm{R} \ 10,00$ cada um em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisa ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual é a divisão justa da quantia apostada?

Passo 1

O enunciado diz que dois jogadores apostaram R\$10,00 cada um, formando um total de R\$20,00. Combinou-se que o primeiro a alcançar 6 vitórias leva todo o dinheiro. O jogo foi interrompido quando um dos jogadores tinha 5 vitórias e o outro tinha 3. A pergunta é: como dividir de forma justa os R\$20,00 entre os dois jogadores naquele momento?
Informações relevantes:
  • Cada jogada é cara-ou-coroa e, portanto, cada jogada tem probabilidade 1/2 de ser ganha por um ou pelo outro (consideramos jogo justo).
  • Um jogador (chamarei de A) tem 5 vitórias; o outro (chamarei de B) tem 3 vitórias.
  • A vencer o jogo é o primeiro que atingir 6 vitórias.
  • Precisamos calcular a fração justa do prêmio que cada jogador tem direito no momento da interrupção, ou seja, suas probabilidades de eventualmente vencer se o jogo tivesse continuado sob as mesmas condições.

Passo 2

Entendendo o que é preciso calcular (ideia intuitiva e ferramenta usada).
  • O que determina quem levaria o prêmio se o jogo continuasse é quem atinge primeiro 6 vitórias.
  • O jogador A (com 5 vitórias) precisa de mais 1 vitória para chegar a 6.
  • O jogador B (com 3 vitórias) precisa de mais 3 vitórias para chegar a 6.
  • Como cada jogada é independente e tem probabilidade 1/2 de favorecer cada jogador, podemos modelar as próximas jogadas como sequência de ensaios de Bernoulli com p=1/2 para A ganhar cada jogada.
  • A ideia prática: o único modo de B vencer antes de A é conseguir 3 vitórias consecutivas nas próximas três jogadas (porque se em qualquer uma dessas três jogadas aparecer uma vitória de A, A atinge 6 e o jogo para). Portanto, basta calcular a probabilidade desse evento e, em seguida, a probabilidade complementar dá a chance de A vencer.

Passo 3

Explicando por que só precisamos olhar para as próximas três jogadas.
  • A precisa de exatamente 1 vitória para ganhar. Se em qualquer uma das próximas jogadas A vencer, o jogo termina imediatamente com vitória de A.
  • Para B alcançar 6 vitórias antes de A, B precisa ganhar as próximas 3 jogadas sem que A ganhe nenhuma entre elas. Isso equivale a dizer que as primeiras 3 jogadas após a interrupção têm que ser todas favoráveis a B.
  • Logo, o evento " B vence a partida" é exatamente o evento "as próximas três jogadas são todas vitórias de B".

Passo 4

Cálculo da probabilidade de B vencer.
  • Cada jogada tem probabilidade 1/2 de ser ganha por B.
  • As jogadas são independentes, então a probabilidade de três vitórias seguidas de B é o produto das probabilidades:
P(B\\ \text{vence}) = \left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}.

Passo 5

Cálculo da probabilidade de A vencer.
  • Como ou A vence ou B vence (não há empate possível), a soma das probabilidades é 1.
  • Portanto,
P(A\\ \text{vence}) = 1 - P(B\\ \text{vence}) = 1 - \tfrac{1}{8} = \tfrac{7}{8}.

Passo 6

Transformando probabilidades em divisão justa do prêmio.
  • O prêmio total é R\$20,00.
  • A parte justa de cada jogador é proporcional à sua probabilidade de vencer se o jogo tivesse continuado.
  • Parte de A (o jogador com 5 vitórias):
\text{Parte}_A = R\$20,00 \cdot \tfrac{7}{8} = R\$ \bigl(20 \times \tfrac{7}{8}\bigr) = R\$17,50.
  • Parte de B (o jogador com 3 vitórias):
\text{Parte}_B = R\$20,00 \cdot \tfrac{1}{8} = R\$ \bigl(20 \times \tfrac{1}{8}\bigr) = R\$2,50.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • Conclusão: o jogador que estava a uma vitória de ganhar (com 5) tem probabilidade muito maior de levar o pote, por isso recebe a maior parte. Você fez bem em procurar a conta: é só transformar as probabilidades em frações do prêmio.
  • Força nos estudos — esses problemas de probabilidade condicional e de divisão de apostas caem muito em prova e vocês já pegou a técnica essencial aqui: olhar quantas vitórias faltam para cada um e ver quais sequências futuras permitem cada desfecho.

Resposta

Jogador com 5 vitórias: R\$17,50
Jogador com 3 vitórias: R\$2,50

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