Questão 1. (40 pontos). Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são simétricos em torno de zero, de
a
.
Passo 2
Vamos rever um conceito importante que vamos usar: paridade de funções.
Uma função é chamada de par (ou paridade par) se satisfaz
Uma função
isto é, é simétrica em relação ao eixo
. Exemplos:
,
, polinômios com apenas potências pares.
Uma função é chamada de ímpar se satisfaz
Uma função
isto é, simétrica em relação à origem. Exemplos:
,
, etc.
Propriedade importante (que vamos provar em seguida): se
é ímpar e integrável em
, então
Passo 3
Prova curta da propriedade acima (é um truque muito útil em provas): suponha
ímpar e definamos
Façamos a substituição
. Então
, quando
temos
e quando
temos
. Portanto
Como
é ímpar,
. Logo
Da igualdade
segue que
, portanto
. Essa é a razão pela qual integrais de funções ímpares em intervalos simétricos se anulam.
Passo 4
Agora analisamos a paridade do integrando
.
- O numerador
é uma função ímpar, pois
- O denominador
é uma função par, pois todas as potências de são pares:
- A razão de uma função ímpar por uma função par é ímpar. De fato,
Portanto o integrando é uma função ímpar definida em
.
Passo 5
Aplicando a propriedade do Passo 3 (integral de função ímpar em intervalo simétrico), concluímos que