Questão 1. (40 pontos). Calcule as integrais:
\int_{-1}^{1} \frac{\sin x}{x^{6}+x^{4}+7} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1} \frac{\sin x}{x^{6}+x^{4}+7}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função x \mapsto \dfrac{\sin x}{x^{6}+x^{4}+7} e os limites de integração são simétricos em torno de zero, de -1 a 1.

Passo 2

Vamos rever um conceito importante que vamos usar: paridade de funções.
Uma função f é chamada de par (ou paridade par) se satisfaz
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x,
isto é, é simétrica em relação ao eixo y. Exemplos: x^2, \cos x, polinômios com apenas potências pares.
Uma função f é chamada de ímpar se satisfaz
f(-x)=-f(x)\quad\text{para todo }x,
isto é, simétrica em relação à origem. Exemplos: x^3, \sin x, etc.
Propriedade importante (que vamos provar em seguida): se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.

Passo 3

Prova curta da propriedade acima (é um truque muito útil em provas): suponha f ímpar e definamos
I=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.
Façamos a substituição u=-x. Então du=-dx, quando x=-a temos u=a e quando x=a temos u=-a. Portanto
I=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{a}^{-a} f(-u)\,(-du) = \int_{-a}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Logo
I=\int_{-a}^{a} -f(u)\,du = -\int_{-a}^{a} f(u)\,du = -I.
Da igualdade I=-I segue que 2I=0, portanto I=0. Essa é a razão pela qual integrais de funções ímpares em intervalos simétricos se anulam.

Passo 4

Agora analisamos a paridade do integrando \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x^{6}+x^{4}+7}.
  • O numerador \sin x é uma função ímpar, pois
\sin(-x)=-\sin x.
  • O denominador x^{6}+x^{4}+7 é uma função par, pois todas as potências de x são pares:
(-x)^{6}+(-x)^{4}+7 = x^{6}+x^{4}+7.
  • A razão de uma função ímpar por uma função par é ímpar. De fato,
f(-x)=\frac{\sin(-x)}{(-x)^{6}+(-x)^{4}+7}=\frac{-\sin x}{x^{6}+x^{4}+7}=-f(x).
Portanto o integrando é uma função ímpar definida em [-1,1].

Passo 5

Aplicando a propriedade do Passo 3 (integral de função ímpar em intervalo simétrico), concluímos que
\int_{-1}^{1} \frac{\sin x}{x^{6}+x^{4}+7}\,dx = 0.

Resposta

0

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