encontre y(k) para Y(z) abaixo
Y(z)=\frac{z^{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2}+1}{\left(z^{2}+\sqrt{3} z+1\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função de variável complexa
Y(z)=\frac{z^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+1}{z^{2}+\sqrt{3}z+1}
e pede para encontrar a sequência temporal y(k) cujo Z‑transform é essa Y(z).
Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{numerador: } z^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+1, \qquad \text{denominador: } z^{2}+\sqrt{3}z+1.
Queremos, portanto, a sequência causal y[k] (isto é, y[k]=0 para k<0) tal que
Y(z)=\sum_{k=0}^{\infty} y[k]\,z^{-k}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: note que grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau 2). Então fazemos uma divisão polinomial para separar a parte polinomial (cadeia de impulsos) e o resto racional. Subtraindo denominador do numerador obtemos o resto:
\begin{aligned} &z^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+1 - \big(z^{2}+\sqrt{3}z+1\big) = -\sqrt{3}\,z + \frac{3\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Logo podemos escrever
\begin{aligned} Y(z) &=1+\frac{-\sqrt{3}\,z+\frac{3\sqrt{3}}{2}}{z^{2}+\sqrt{3}z+1}. \end{aligned}

Passo 3

É conveniente trabalhar com potências de z^{-1} (séries de potências) porque Y(z)=\sum y[k] z^{-k}. Dividindo numerador e denominador por z^{2} (ou seja, substituindo w=z^{-1}) obtemos
Y(z) = \frac{1 + \big(\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\big)z^{-2}}{1+\sqrt{3}z^{-1}+z^{-2}}.
Para simplificar notação, chamo
R(z^{-1})=\frac{-\sqrt{3}z^{-1}+\frac{3\sqrt{3}}{2}z^{-2}}{1+\sqrt{3}z^{-1}+z^{-2}},
de modo que
Y(z)=1+R(z^{-1}).

Passo 4

Agora uso a interpretação de séries: escrevendo Y(z)=\sum_{k=0}^{\infty} y[k] z^{-k} e multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador em z^{-1} obtemos uma igualdade de séries que dá uma relação entre os coeficientes (ou seja, uma recorrência para y[k]). Explicitamente,
\big(1+\sqrt{3}z^{-1}+z^{-2}\big)Y(z)=1+\Big(\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\Big)z^{-2}.
Expandindo em séries e igualando coeficientes de z^{-k} (lembrando y[k]=0 para k<0) obtemos, para todos os k\ge 0,
y[k]+\sqrt{3}\,y[k-1]+y[k-2]=r[k],
onde as contantes r[k] vêm do lado direito:
r[0]=1,\qquad r[1]=0,\qquad r[2]=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1,\qquad r[k]=0\\ \text{para }k\ge3.
Aqui usamos a convenção y[-1]=y[-2]=0.

Passo 5

Agora calculamos os primeiros termos usando as equações correspondentes a k=0,1,2.
Para k=0:
y[0]=r[0]=1.
Para k=1:
y[1]+\sqrt{3}\,y[0]=r[1]=0 \quad\Rightarrow\quad y[1]+\sqrt{3}\cdot 1=0 \quad\Rightarrow\quad y[1]=-\sqrt{3}.
Para k=2:
y[2]+\sqrt{3}\,y[1]+y[0]=r[2]=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1.
Substituindo y[1] e y[0]:
y[2]+\sqrt{3}(-\sqrt{3})+1=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1 \quad\Rightarrow\quad y[2]-3+1=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1
\Rightarrow\quad y[2]=\frac{3\sqrt{3}}{2}+3.
Portanto já temos os três primeiros valores:
y[0]=1,\qquad y[1]=-\sqrt{3},\qquad y[2]=3+\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Para k\ge 3 o termo do lado direito r[k]=0, então a sequência satisfaz a recorrência homogênea
y[k]+\sqrt{3}\,y[k-1]+y[k-2]=0,\qquad k\ge3,
ou seja
y[k]=-\sqrt{3}\,y[k-1]-y[k-2],\qquad k\ge3.
Isto determina toda a sequência a partir de y[1] e y[2] (ou a partir de y[0] e y[1]).

Passo 7

Comentário didático rápido sobre solução fechada (opcional): a equação característica é
r^{2}+\sqrt{3}r+1=0,
cuja raízes são
r=e^{\pm j5\pi/6},
ou seja módulos 1 e ângulo \pm 5\pi/6. Assim a parte homogênea pode ser escrita como combinação linear de senos e cossenos:
y[k]=A\cos\!\big(k\cdot 5\pi/6\big)+B\sin\!\big(k\cdot 5\pi/6\big)
para k\ge 2, com A,B fixados pelos valores y[2] e y[3]. Mas, para efeito prático em prova, é totalmente aceitável (e muitas vezes mais simples) apresentar y[k] pelos três primeiros valores e pela recorrência que acabei de escrever — isso já define a sequência completamente.

Resposta

y[0]=1
y[1]=-\sqrt{3}
y[2}=3+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
y[k]=-\sqrt{3}\,y[k-1]-y[k-2], para k\ge 3

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