encontre
para
abaixo
Passo 1
O enunciado dá a função de variável complexa
e pede para encontrar a sequência temporal
cujo Z‑transform é essa
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
Queremos, portanto, a sequência causal
(isto é,
para
) tal que
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: note que grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau 2). Então fazemos uma divisão polinomial para separar a parte polinomial (cadeia de impulsos) e o resto racional. Subtraindo denominador do numerador obtemos o resto:
Logo podemos escrever
Passo 3
É conveniente trabalhar com potências de
(séries de potências) porque
. Dividindo numerador e denominador por
(ou seja, substituindo
) obtemos
Para simplificar notação, chamo
de modo que
Passo 4
Agora uso a interpretação de séries: escrevendo
e multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador em
obtemos uma igualdade de séries que dá uma relação entre os coeficientes (ou seja, uma recorrência para
). Explicitamente,
Expandindo em séries e igualando coeficientes de
(lembrando
para
) obtemos, para todos os
,
onde as contantes
vêm do lado direito:
Aqui usamos a convenção
.
Passo 5
Agora calculamos os primeiros termos usando as equações correspondentes a
.
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo
e
:
Portanto já temos os três primeiros valores:
Passo 6
Para
o termo do lado direito
, então a sequência satisfaz a recorrência homogênea
ou seja
Isto determina toda a sequência a partir de
e
(ou a partir de
e
).
Passo 7
Comentário didático rápido sobre solução fechada (opcional): a equação característica é
cuja raízes são
ou seja módulos 1 e ângulo
. Assim a parte homogênea pode ser escrita como combinação linear de senos e cossenos:
para
, com
fixados pelos valores
e
. Mas, para efeito prático em prova, é totalmente aceitável (e muitas vezes mais simples) apresentar
pelos três primeiros valores e pela recorrência que acabei de escrever — isso já define a sequência completamente.