Questão: (30 pontos)
Calcule a integral tripla,
onde
é o primeiro octante (isto é
e
) da esfera com centro na origem de raio 1.
Calcule a integral tripla,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o primeiro octante da esfera de centro na origem e raio
. Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas esféricas (apenas apresentação das variáveis e do elemento de volume). Definimos as variáveis esféricas
por:
onde
é a distância à origem,
é o ângulo azimutal no plano
e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve explicação do porquê: pequenos incrementos
geram um paralelepípedo curvilíneo cujas dimensões são aproximadamente
,
e
, e o volume aproxima-se do produto
.
Passo 3
Determinar os limites de integração para o primeiro octante:
- Como
e , o ângulo azimutal varia por . - Como
, o ângulo polar varia por . - Como estamos dentro da esfera de raio
, .
Passo 4
Reescrever o integrando em termos de
. Observamos que
portanto
Assim o integrando fica
e o integrando completo com o elemento de volume é
.
Passo 5
Escrever a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
Note que o integrando separa em função de
multiplicada por função de
(não há dependência em
), logo podemos separar os integrais angulares dos radiais.
Passo 6
Calcular as integrais angulares (fáceis):
Portanto a parte angular total é
.
Passo 7
Ficar com o integral radial:
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Calcule a integral de
:
Passo 8
Multiplicar o resultado radial pelo fator angular
: