4{ }^{a} Questão: (30 pontos)
Calcule a integral tripla,
\iiint_{B_{1}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d V
onde B_{1} é o primeiro octante (isto é x \geq 0, y \geq 0 e z \geq 0 ) da esfera com centro na origem de raio 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B_{1}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} dV
onde B_{1} é o primeiro octante da esfera de centro na origem e raio 1. Informações relevantes fornecidas:
B_{1}=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0,\; x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas esféricas (apenas apresentação das variáveis e do elemento de volume). Definimos as variáveis esféricas (r,\theta,\varphi) por:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0 é a distância à origem, \theta é o ângulo azimutal no plano xy e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.
Breve explicação do porquê: pequenos incrementos (dr, d\varphi, d\theta) geram um paralelepípedo curvilíneo cujas dimensões são aproximadamente dr, r\,d\varphi e r\sin\varphi\,d\theta, e o volume aproxima-se do produto dr\cdot(r\,d\varphi)\cdot(r\sin\varphi\,d\theta)=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração para o primeiro octante:
  • Como x\ge 0 e y\ge 0, o ângulo azimutal varia por \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Como z\ge 0, o ângulo polar varia por \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Como estamos dentro da esfera de raio 1, r\in[0,1].

Passo 4

Reescrever o integrando em termos de r. Observamos que
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
portanto
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = r^{3}.
Assim o integrando fica e^{r^{3}} e o integrando completo com o elemento de volume é e^{r^{3}}\,r^{2}\sin\varphi.

Passo 5

Escrever a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
\iiint_{B_{1}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} dV = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{1} e^{r^{3}}\,r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.
Note que o integrando separa em função de r multiplicada por função de \varphi (não há dependência em \theta), logo podemos separar os integrais angulares dos radiais.

Passo 6

Calcular as integrais angulares (fáceis):
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2},
\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\;d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos(0)=0+1=1.
Portanto a parte angular total é \tfrac{\pi}{2}\cdot 1=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Ficar com o integral radial:
\int_{r=0}^{1} e^{r^{3}}\,r^{2}\;dr.
Fazemos a substituição u=r^{3}. Então du=3r^{2}dr, ou seja r^{2}dr=\dfrac{du}{3}. Quando r=0 temos u=0 e quando r=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{3}}\,r^{2}\;dr = \int_{u=0}^{1} e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\;du.
Calcule a integral de e^{u}:
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\;du = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(e-1).

Passo 8

Multiplicar o resultado radial pelo fator angular \tfrac{\pi}{2}:
\iiint_{B_{1}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} dV = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{3}(e-1) = \frac{\pi}{6}(e-1).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(e-1\bigr)

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