Em finanças é muitas vezes empregado um modelo simples para análise da evolução do preço de uma ação. O referido modelo é conhecido como modelo binomial de investimentos e estabelece que, a cada período de tempo do investimento, a variação de preço da ação, do final de um dia para o final do dia seguinte, ocorre de forma independente e da seguinte forma: o preço pode aumentar por um fator com uma probabilidade p , fixada, ou decrescer por um outro fator, que é o inverso do primeiro, com uma probabilidade \mathrm{q}=1-\mathrm{p}, também fixada, durante um certo período de tempo ou prazo de investimento. O exercício a seguir enquadra-se neste modelo.
Considere-se um investimento em ativo de risco (ação) com as seguintes características:
i) prazo de tempo: 3 períodos diários;
ii) valor (preço) no início do período: \mathrm{R} \ 10,00$;
iii) magnitude de aumento (crescimento) igual a 10 \%, ou seja, correspondente ao fator multiplicativo 1,10 aplicado ao preço do dia anterior para determinar o preço no dia atual; e magnitude de queda (decrescimento) igual a 9,09 \%, isto é, correspondente ao fator de 1 / 1,10 aplicado ao preço do dia anterior para determinar o preço no dia atual (fator de divisão 1,10 );
iv) probabilidade de aumento de valor igual a 60 \% (portanto probabilidade de queda igual a 40%), constante em todos os períodos.
Nessas condições:
Calcular a probabilidade de o valor da ação ao final do período ser o maior possível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Prazo: 3 períodos (dias).
  • Preço inicial: S_0 = \mathrm{R}\$\,10{,}00.
  • Fator de aumento por período: u_f = 1{,}10 (aumento de 10\%).
  • Fator de queda por período: d_f = 1/u_f = 1/1{,}10 (queda de 9{,}09\%).
  • Probabilidade de aumento em cada período: p = 0{,}6.
  • Probabilidade de queda em cada período: q = 1-p = 0{,}4.
  • Os movimentos são independentes entre períodos.
O enunciado pergunta: calcular a probabilidade de que o valor da ação ao final dos 3 períodos seja o maior possível.

Passo 2

Entender qual é o “maior possível” valor final.
  • Se, em cada período, um aumento multiplica o preço por u_f=1{,}10 e uma queda multiplica por d_f=1/1{,}10, então, após 3 períodos com k aumentos e 3-k quedas, o preço final é
S_3 = S_0 \cdot u_f^{\,k} \cdot d_f^{\,3-k}.
  • Como u_f>1 e d_f<1, o preço final cresce quando o número de aumentos k aumenta. Portanto, o maior preço final possível ocorre quando o número de aumentos é o máximo possível, isto é, k=3 (ou seja, aumento em todos os 3 períodos).

Passo 3

Calcular a probabilidade de exatamente k aumentos em 3 períodos (fórmula e explicação didática).
  • Cada trajetória dos 3 dias é uma sequência de eventos independentes, cada evento sendo “aumento” (probabilidade p) ou “queda” (probabilidade q).
  • A probabilidade de uma sequência com exatamente k aumentos e 3-k quedas em posições específicas é p^{\,k} q^{\,3-k} (multiplica-se p uma vez por cada aumento e q uma vez por cada queda).
  • O número de sequências diferentes que contêm exatamente k aumentos em 3 posições é o coeficiente binomial \binom{3}{k} (escolhe-se em quais dos 3 dias ocorrerão os aumentos).
  • Logo, a probabilidade de ocorrer exatamente k aumentos em 3 períodos é
\mathbb{P}(K=k)=\binom{3}{k}\,p^{\,k}q^{\,3-k}.
(Explicando intuitivamente: pense em 3 moedas viciadas onde cara = aumento; a fórmula conta todas as posições possíveis para as caras e soma a probabilidade de cada sequência.)

Passo 4

Aplicar a fórmula para o caso k=3 (todas as observações são aumentos), que é justamente o caso do maior preço final.
  • Substituindo k=3 na fórmula:
\mathbb{P}(K=3)=\binom{3}{3}p^{3}q^{0}=1\cdot p^{3}=p^{3}.
  • Com p=0{,}6:
\mathbb{P}(K=3)=0{,}6^{3}.
  • Calcule 0{,}6^{3}. Primeiro 0{,}6^{2}=0{,}36. Depois 0{,}36\times0{,}6=0{,}216.

Passo 5

Interpretação final e conversão para porcentagem.
  • A probabilidade pedida é \mathbb{P}(K=3)=0{,}216, que corresponde a 21{,}6\%.
  • Ou seja: há 21{,}6\% de chance de que a ação termine no maior valor possível (aumentos nos 3 dias).

Resposta

0{,}216 \left(21{,}6\%\right)

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