Em finanças é muitas vezes empregado um modelo simples para análise da evolução do preço de uma ação. O referido modelo é conhecido como modelo binomial de investimentos e estabelece que, a cada período de tempo do investimento, a variação de preço da ação, do final de um dia para o final do dia seguinte, ocorre de forma independente e da seguinte forma: o preço pode aumentar por um fator com uma probabilidade p , fixada, ou decrescer por um outro fator, que é o inverso do primeiro, com uma probabilidade
, também fixada, durante um certo período de tempo ou prazo de investimento. O exercício a seguir enquadra-se neste modelo.
Considere-se um investimento em ativo de risco (ação) com as seguintes características:
i) prazo de tempo: 3 períodos diários;
ii) valor (preço) no início do período:
10,00$;
iii) magnitude de aumento (crescimento) igual a
, ou seja, correspondente ao fator multiplicativo 1,10 aplicado ao preço do dia anterior para determinar o preço no dia atual; e magnitude de queda (decrescimento) igual a
, isto é, correspondente ao fator de
aplicado ao preço do dia anterior para determinar o preço no dia atual (fator de divisão 1,10 );
iv) probabilidade de aumento de valor igual a
(portanto probabilidade de queda igual a 40%), constante em todos os períodos.
Nessas condições:
Calcular a probabilidade de o valor da ação ao final do período ser o maior possível.
Considere-se um investimento em ativo de risco (ação) com as seguintes características:
i) prazo de tempo: 3 períodos diários;
ii) valor (preço) no início do período:
iii) magnitude de aumento (crescimento) igual a
iv) probabilidade de aumento de valor igual a
Calcular a probabilidade de o valor da ação ao final do período ser o maior possível.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Prazo:
períodos (dias). - Preço inicial:
. - Fator de aumento por período:
(aumento de ). - Fator de queda por período:
(queda de ). - Probabilidade de aumento em cada período:
. - Probabilidade de queda em cada período:
. - Os movimentos são independentes entre períodos.
O enunciado pergunta: calcular a probabilidade de que o valor da ação ao final dos
períodos seja o maior possível.
Passo 2
Entender qual é o “maior possível” valor final.
- Se, em cada período, um aumento multiplica o preço por
e uma queda multiplica por , então, após períodos com aumentos e quedas, o preço final é
- Como
e , o preço final cresce quando o número de aumentos aumenta. Portanto, o maior preço final possível ocorre quando o número de aumentos é o máximo possível, isto é, (ou seja, aumento em todos os 3 períodos).
Passo 3
Calcular a probabilidade de exatamente
aumentos em
períodos (fórmula e explicação didática).
- Cada trajetória dos
dias é uma sequência de eventos independentes, cada evento sendo “aumento” (probabilidade ) ou “queda” (probabilidade ). - A probabilidade de uma sequência com exatamente
aumentos e quedas em posições específicas é (multiplica-se uma vez por cada aumento e uma vez por cada queda). - O número de sequências diferentes que contêm exatamente
aumentos em posições é o coeficiente binomial (escolhe-se em quais dos 3 dias ocorrerão os aumentos). - Logo, a probabilidade de ocorrer exatamente
aumentos em períodos é
(Explicando intuitivamente: pense em 3 moedas viciadas onde cara = aumento; a fórmula conta todas as posições possíveis para as caras e soma a probabilidade de cada sequência.)
Passo 4
Aplicar a fórmula para o caso
(todas as observações são aumentos), que é justamente o caso do maior preço final.
- Substituindo
na fórmula:
- Com
:
- Calcule
. Primeiro . Depois .
Passo 5
Interpretação final e conversão para porcentagem.
- A probabilidade pedida é
, que corresponde a . - Ou seja: há
de chance de que a ação termine no maior valor possível (aumentos nos 3 dias).