Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule as medidas de suas diagonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um paralelogramo com dois lados consecutivos medindo 14 cm e 10 cm, e o ângulo entre eles é de 60°. Nosso objetivo é encontrar o comprimento das duas diagonais desse paralelogramo. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e as propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se cruzam dividindo-se em segmentos que se são iguais. Além disso, podemos usar a Lei dos Cossenos para calcular o comprimento das diagonais.

Passo 3

Vamos chamar os lados do paralelogramo de $ a = 14 $ cm e $ b = 10 $ cm, e o ângulo entre eles de $ \theta = 60° $. As fórmulas para as diagonais $ d_1 $ e $ d_2 $ são:
a = 14
b = 10

Passo 4

Vamos calcular $ d_1 $ primeiro:
d1
Sabemos que $ \cos(60°) = 0,5 $, então substituindo:
d1 = raiz14^2 + 10^2 + 2 times 14 times 10 times cos(60°)
cos(60°) = 0,5
d1 = raiz196 + 100 + 2 times 14 times 10 times 0,5
d1 = raiz196 + 100 + 140

Passo 5

Agora, vamos calcular $ d_2 $:
d2
Substituindo $ \cos(60°) = 0,5 $:
d2 = raiz14^2 + 10^2 - 2 times 14 times 10 times cos(60°)
cos(60°) = 0,5
d2 = raiz196 + 100 - 140

Resposta

As medidas das diagonais do paralelogramo são aproximadamente 20,88 cm e 12,49 cm.

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