Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule as medidas de suas diagonais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um paralelogramo com dois lados consecutivos medindo 14 cm e 10 cm, e o ângulo entre eles é de 60°. Nosso objetivo é encontrar o comprimento das duas diagonais desse paralelogramo. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e as propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se cruzam dividindo-se em segmentos que se são iguais. Além disso, podemos usar a Lei dos Cossenos para calcular o comprimento das diagonais.
Passo 3
Vamos chamar os lados do paralelogramo de $ a = 14 $ cm e $ b = 10 $ cm, e o ângulo entre eles de $ \theta = 60° $. As fórmulas para as diagonais $ d_1 $ e $ d_2 $ são:
Passo 4
Vamos calcular $ d_1 $ primeiro:
Sabemos que $ \cos(60°) = 0,5 $, então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ d_2 $:
Substituindo $ \cos(60°) = 0,5 $:
Resposta
As medidas das diagonais do paralelogramo são aproximadamente 20,88 cm e 12,49 cm.