Dois lados de um paralelogramo estão sobre as retas
r_{1}: 8 x+3 y=-1 \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=t \\\ y=-2 t+1 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R}\right.
e uma de suas diagonais pertence à reta
r: 3 x+2 y=-3 .
Ache as coordenadas de seus vértices.
Passo 1
O enunciado dá três retas e diz que dois lados do paralelogramo estão sobre as retas [r_{1}) e r_{2}, e que uma das diagonais pertence à reta r. Preciso achar as coordenadas dos quatro vértices do paralelogramo.
Informações fornecidas:
r_{1}: 8x+3y=-1.
r_{2}:\begin{cases}x=t\y=-2t+1\end{cases},\\ t\in\mathbb{R}\]. (Já está em forma paramétrica; direção óbvia.)
- \(r: 3x+2y=-3 (reta que contém uma das diagonais).
O que o problema pede:
Determinar as coordenadas dos quatro vértices do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro encontro o vértice que é interseção das duas retas que contêm os lados adjacentes: A = r_{1}\cap r_{2}. Para isso uso a parametrização de r_{2} e substituo em r_{1}.
Preciso das direções das retas para parametrizar os outros vértices. Explico como obter vetores diretores:
Para r_{2} a parametrização já dá vetor diretor \mathbf{v}_2=(1,-2) (porque x=t,\\ y=-2t+1 varia com t como (1,-2)).
Para r_{1} a equação normal é 8x+3y=-1. Um vetor normal é \mathbf{n}_1=(8,3); um vetor diretor \mathbf{v}_1 é qualquer vetor perpendicular a \mathbf{n}_1. Um escolha simples é \mathbf{v}_1=(3,-8) (pois \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{v}_1=8\cdot3+3\cdot(-8)=0).
Assim \mathbf{v}_1=(3,-8) e \mathbf{v}_2=(1,-2).
Passo 4
Parametrizo os vértices adjacentes a A. Seja B um ponto sobre r_{1} e D um ponto sobre r_{2}, tomando escalas u e v a partir de A:
B = A + u\mathbf{v}_1 = (-2+3u,\;5-8u),
D = A + v\mathbf{v}_2 = (-2+v,\;5-2v).
O quarto vértice C do paralelogramo é dado por somar os deslocamentos: \overrightarrow{AC}=u\mathbf{v}_1+v\mathbf{v}_2. Logo
Também é útil a relação vetorial C=B+D-A (propriedade do paralelogramo: diagonais se cruzam no ponto médio, ou equivalente: soma dos vetores dos vértices opostos).
Passo 5
Decidir qual diagonal pertence à reta r. Se a diagonal AC estivesse em r, então A estaria sobre r. Verifico se A satisfaz a equação de r:
3x+2y\big|_{A}=3(-2)+2(5)=-6+10=4\neq -3.
Portanto A não está em r, então a diagonal que pertence a r não pode ser AC. Logo a diagonal que está em r é a outra, BD. Isso implica que ambos B e D pertencem à reta r, ou seja devem satisfazer 3x+2y=-3.
Passo 6
Imponho que B e D satisfazem 3x+2y=-3. Para B=(-2+3u,\;5-8u):