Dois lados de um paralelogramo estão sobre as retas
r_{1}: 8 x+3 y=-1 \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=t \\\ y=-2 t+1 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R}\right.
e uma de suas diagonais pertence à reta
r: 3 x+2 y=-3 .
Ache as coordenadas de seus vértices.

Passo 1

O enunciado dá três retas e diz que dois lados do paralelogramo estão sobre as retas [r_{1}) e r_{2}, e que uma das diagonais pertence à reta r. Preciso achar as coordenadas dos quatro vértices do paralelogramo.
Informações fornecidas:
  • r_{1}: 8x+3y=-1.
  • r_{2}:\begin{cases}x=t\y=-2t+1\end{cases},\\ t\in\mathbb{R}\]. (Já está em forma paramétrica; direção óbvia.) - \(r: 3x+2y=-3 (reta que contém uma das diagonais).
O que o problema pede:
  • Determinar as coordenadas dos quatro vértices do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro encontro o vértice que é interseção das duas retas que contêm os lados adjacentes: A = r_{1}\cap r_{2}. Para isso uso a parametrização de r_{2} e substituo em r_{1}.
Substituindo x=t,\\ y=-2t+1 em 8x+3y=-1
8t+3(-2t+1)=-1.
Desenvolvendo:
8t-6t+3=-1 \quad\Rightarrow\quad 2t+3=-1 \quad\Rightarrow\quad 2t=-4 \quad\Rightarrow\quad t=-2.
Logo
A=(x,y)=(t,\,-2t+1)=(-2,\;5).

Passo 3

Preciso das direções das retas para parametrizar os outros vértices. Explico como obter vetores diretores:
  • Para r_{2} a parametrização já dá vetor diretor \mathbf{v}_2=(1,-2) (porque x=t,\\ y=-2t+1 varia com t como (1,-2)).
  • Para r_{1} a equação normal é 8x+3y=-1. Um vetor normal é \mathbf{n}_1=(8,3); um vetor diretor \mathbf{v}_1 é qualquer vetor perpendicular a \mathbf{n}_1. Um escolha simples é \mathbf{v}_1=(3,-8) (pois \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{v}_1=8\cdot3+3\cdot(-8)=0).
Assim \mathbf{v}_1=(3,-8) e \mathbf{v}_2=(1,-2).

Passo 4

Parametrizo os vértices adjacentes a A. Seja B um ponto sobre r_{1} e D um ponto sobre r_{2}, tomando escalas u e v a partir de A:
B = A + u\mathbf{v}_1 = (-2+3u,\;5-8u),
D = A + v\mathbf{v}_2 = (-2+v,\;5-2v).
O quarto vértice C do paralelogramo é dado por somar os deslocamentos: \overrightarrow{AC}=u\mathbf{v}_1+v\mathbf{v}_2. Logo
C=A+u\mathbf{v}_1+v\mathbf{v}_2 = (-2+3u+v,\;5-8u-2v).
Também é útil a relação vetorial C=B+D-A (propriedade do paralelogramo: diagonais se cruzam no ponto médio, ou equivalente: soma dos vetores dos vértices opostos).

Passo 5

Decidir qual diagonal pertence à reta r. Se a diagonal AC estivesse em r, então A estaria sobre r. Verifico se A satisfaz a equação de r:
3x+2y\big|_{A}=3(-2)+2(5)=-6+10=4\neq -3.
Portanto A não está em r, então a diagonal que pertence a r não pode ser AC. Logo a diagonal que está em r é a outra, BD. Isso implica que ambos B e D pertencem à reta r, ou seja devem satisfazer 3x+2y=-3.

Passo 6

Imponho que B e D satisfazem 3x+2y=-3. Para B=(-2+3u,\;5-8u):
3(-2+3u)+2(5-8u)=-3.
Calculo:
-6+9u+10-16u=-3 \quad\Rightarrow\quad 4-7u=-3 \quad\Rightarrow\quad -7u=-7 \quad\Rightarrow\quad u=1.
Para D=(-2+v,\;5-2v):
3(-2+v)+2(5-2v)=-3.
Calculo:
-6+3v+10-4v=-3 \quad\Rightarrow\quad 4-v=-3 \quad\Rightarrow\quad -v=-7 \quad\Rightarrow\quad v=7.

Passo 7

Com u=1 e v=7 calculo os vértices explicitamente.
  • B = (-2+3u,\;5-8u)=(-2+3,\;5-8)=(1,\,-3).
  • D = (-2+v,\;5-2v)=(-2+7,\;5-14)=(5,\,-9).
  • C = A+u\mathbf{v}_1+v\mathbf{v}_2. Substituindo,
C = (-2+3\cdot1+7,\;5-8\cdot1-2\cdot7)=(-2+3+7,\;5-8-14)=(8,\,-17).
Verificações rápidas (para ficar tranquilo):
  • B pertence a r_{1}: 8\cdot1+3(-3)=8-9=-1 (ok).
  • D pertence a r_{2}: com t=5, x=5,\\ y=-2\cdot5+1=-9 (ok).
  • B e D pertencem a r: 3\cdot1+2(-3)=3-6=-3 e 3\cdot5+2(-9)=15-18=-3 (ok).
  • As posições fazem C=B+D-A: (1, -3)+(5,-9)-(-2,5)=(1+5+2,\,-3-9-5)=(8,-17) (ok).

Resposta

A = (-2,\,5)
B = (1,\,-3)
C = (8,\,-17)
D = (5,\,-9)

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