Verifique que os vetores vec{v} e vec{w} são LI, e escreva vec{u} como combinação linear desses vetores, onde:
vec{v}=(1,1), vec{w}=(1,2), vec{u}=(5,6),

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{v}=(1,1), \vec{w}=(1,2) e \vec{u}=(5,6).
Pede-se:
  • Verificar que \vec{v} e \vec{w} são linearmente independentes (LI).
  • Escrever \vec{u} como combinação linear de \vec{v} e \vec{w}.

Passo 2

Definição e ideia prática para este caso: um conjunto de vetores é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Para dois vetores em \mathbb{R}^2 é simples verificar isso de duas formas equivalentes:
  • Checar se um não é múltiplo escalar do outro (se não for, são LI).
  • Calcular o determinante da matriz que tem \vec{v} e \vec{w} como colunas; se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI.
Explicando o determinante (fórmula): se colocamos \vec{v} e \vec{w} como colunas da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
o determinante de A é dado por
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 1.
Um determinante diferente de zero significa que as colunas são linearmente independentes.]

Passo 3

Calculando o determinante:
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1 = 1 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, conclui-se que \vec{v} e \vec{w} são linearmente independentes.

Passo 4

(Passo extra de verificação por sistema homogêneo, para fixar a ideia) Verificação resolvendo \alpha\vec{v}+\beta\vec{w}=\vec{0}\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos \beta=0\]. Substituindo em \(\alpha+\beta=0 vem \alpha=0. Só existe a solução trivial \alpha=\beta=0, portanto novamente \vec{v} e \vec{w} são LI.]

Passo 5

Agora para escrever \vec{u} como combinação linear, procuramos escalares a e b tais que
a\vec{v}+b\vec{w}=\vec{u}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\[4pt] a + 2b = 6. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema por eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda:
(a+2b)-(a+b)=6-5 \quad\Rightarrow\quad b=1.
Substituindo b=1 na primeira equação:
a+1=5 \quad\Rightarrow\quad a=4.
Logo os coeficientes são a=4 e b=1.

Passo 7

Verificação final (checagem rápida): calcular 4\vec{v}+1\vec{w}:
4(1,1)+1(1,2)=(4+1,\;4+2)=(5,6)=\vec{u},
portanto está correto. Como \vec{v} e \vec{w} são LI, essa escrita é única.

Resposta

\vec{v} e \vec{w} são linearmente independentes.
\vec{u}=4\vec{v}+1\vec{w}

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