Verifique que os vetores
e
são LI, e escreva
como combinação linear desses vetores, onde:
,
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
.
Pede-se:
Pede-se:
- Verificar que
e são linearmente independentes (LI). - Escrever
como combinação linear de e .
Passo 2
Definição e ideia prática para este caso: um conjunto de vetores é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Para dois vetores em
é simples verificar isso de duas formas equivalentes:
- Checar se um não é múltiplo escalar do outro (se não for, são LI).
- Calcular o determinante da matriz que tem
e como colunas; se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI.
Explicando o determinante (fórmula): se colocamos
e
como colunas da matriz
o determinante de
é dado por
Um determinante diferente de zero significa que as colunas são linearmente independentes.]
Passo 3
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, conclui-se que
e
são linearmente independentes.
Passo 4
(Passo extra de verificação por sistema homogêneo, para fixar a ideia) Verificação resolvendo
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
vem
. Só existe a solução trivial
, portanto novamente
e
são LI.]
Passo 5
Agora para escrever
como combinação linear, procuramos escalares
e
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
Passo 6
Resolver o sistema por eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Logo os coeficientes são
e
.
Passo 7
Verificação final (checagem rápida): calcular
:
portanto está correto. Como
e
são LI, essa escrita é única.