Estes exercícios envolvem funções de três variáveis.
Determine g(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) se g(x, y, z)= z \operatorname{sen} x y, u(x, y, z)=x^{2} z^{3}, v(x, y, z)=\pi x y z e w(x, y, z)=x y / z.

Passo 1

O enunciado pede: determinar g(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)) dadas as funções:
  • g(x,y,z)=z\operatorname{sen} x y (ou seja, g(x,y,z)=z\sin(xy)),
  • u(x,y,z)=x^{2}z^{3},
  • v(x,y,z)=\pi x y z,
  • w(x,y,z)=\dfrac{x y}{z}.
As pergunta é: calcular a composição g aplicada às três funções u,v,w, isto é, substituir (x,y,z)\mapsto\big(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\big) em g.

Passo 2

Entendendo a composição: se g(a,b,c)=c\sin(ab), então, por substituição direta,
g\big(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\big)=w(x,y,z)\,\sin\big(u(x,y,z)\,v(x,y,z)\big).
Isto significa que o terceiro argumento de g vira um fator multiplicativo à frente do seno, e o seno recebe o produto do primeiro pelo segundo argumento substituídos.

Passo 3

Calcular o produto u(x,y,z)\,v(x,y,z). Substituindo:
u(x,y,z)\,v(x,y,z)=(x^{2}z^{3})\cdot(\pi x y z).
Agora usar a regra de potências: ao multiplicar x^{2} por x soma-se os expoentes, e o mesmo para z^{3} por z:
(x^{2}z^{3})\cdot(\pi x y z)=\pi\,x^{2+1}\,y\,z^{3+1}=\pi x^{3}y z^{4}.
Explicação rápida: x^{2}\cdot x = x^{2+1}=x^{3} e z^{3}\cdot z = z^{3+1}=z^{4}. O fator \pi e a variável y aparecem multiplicando normalmente.

Passo 4

Aplicar o seno ao argumento encontrado:
\sin\big(u(x,y,z)\,v(x,y,z)\big)=\sin\big(\pi x^{3}y z^{4}\big).
Lembre que a função \sin aceita esse produto como argumento sem alteração — só envolve o resultado do produto.

Passo 5

Multiplicar pelo terceiro componente w(x,y,z). Como w(x,y,z)=\dfrac{x y}{z}, temos:
g\big(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\big)=\frac{x y}{z}\;\sin\big(\pi x^{3}y z^{4}\big).
Observação importante sobre domínio: w(x,y,z) tem divisão por z, logo a expressão só está definida quando z\neq 0.

Resposta

\frac{x y}{z}\sin\big(\pi x^{3}y z^{4}\big)

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