Dois lados de um retângulo aumentam de 2 cm / s, enquanto que os outros dois diminuem de tal forma que sempre temos um retângulo de área constante igual a 50 cm^2. Qual a taxa de variação do perímetro p quando o comprimento do lado que aumenta é 5 cm ? Quais as dimensões do retângulo quando o perímetro para de diminuir?

Passo 1

No enunciado, temos um retângulo de lados x e y com área constante A=50 cm². O lado x aumenta a 2 cm/s e o lado y se ajusta para manter A constante. Vamos usar derivadas implícitas (taxas relacionadas) para encontrar dp/dt quando x=5 cm e depois achar as dimensões quando dp/dt=0.

Passo 2

Escrevemos a relação da área e derivamos em relação ao tempo t. A relação é
A = x y = 50
Derivando implicitamente:
ddt(x y)=x,dydt+y,dxdt=0
Isso dá
dydt=-yx,dxdt

Passo 3

O perímetro é
p=2(x+y)
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dpdt=2l(dxdt+dydtr)
Para x=5 cm usamos y=50/5=10 cm e dx/dt=2 cm/s. Então
dydt=-105cdot2=-4 cm/s
e
dpdt=2(2-4)=-4 cm/s

Passo 4

Para achar quando o perímetro para de variar, fazemos dp/dt=0, ou seja
dxdt+dydt=0
Sabendo que dxdt=2 e dydt=-yx2, temos
2-2yx=0Longrightarrowyx=1Longrightarrow y=x
Como xy=50, então x^2=50 e
x=y=raiz50=5raiz2 cm

Resposta

A taxa de variação do perímetro quando x=5 cm é -4 cm/s. O perímetro para de diminuir quando o retângulo é quadrado com lados x=y=5\sqrt2 cm.

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