Dois lados de um retângulo aumentam de
, enquanto que os outros dois diminuem de tal forma que sempre temos um retângulo de área constante igual a
. Qual a taxa de variação do perímetro
quando o comprimento do lado que aumenta é 5 cm ? Quais as dimensões do retângulo quando o perímetro para de diminuir?
Passo 1
No enunciado, temos um retângulo de lados x e y com área constante A=50 cm². O lado x aumenta a 2 cm/s e o lado y se ajusta para manter A constante. Vamos usar derivadas implícitas (taxas relacionadas) para encontrar dp/dt quando x=5 cm e depois achar as dimensões quando dp/dt=0.
Passo 2
Escrevemos a relação da área e derivamos em relação ao tempo t. A relação é
Derivando implicitamente:
Isso dá
Passo 3
O perímetro é
Logo
Para x=5 cm usamos y=50/5=10 cm e dx/dt=2 cm/s. Então
e
Passo 4
Para achar quando o perímetro para de variar, fazemos dp/dt=0, ou seja
Sabendo que
e
, temos
Como
, então
e
Resposta
A taxa de variação do perímetro quando x=5 cm é -4 cm/s. O perímetro para de diminuir quando o retângulo é quadrado com lados x=y=5\sqrt2 cm.