Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura está a
ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a
a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a
. Se a viatura está se deslocando a
no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?
Passo 1
Vamos modelar a situação: a viatura está a uma distância y(t) ao norte do cruzamento e se mexe no sentido sul, enquanto o fugitivo está a uma distância x(t) a leste do mesmo ponto e corre para o leste. Chamamos de z(t) a distância entre os dois. O conteúdo aqui é aplicações de derivadas de relações implícitas (taxas relacionadas) usando o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Definimos as variáveis e a equação de Pitágoras que liga as distâncias:
Isso vem do triângulo retângulo formado pelas projeções ortogonais.
Passo 3
Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t para relacionar as velocidades:
Dividindo por 2 e rearranjando, fica
Passo 4
No instante dado temos x = 0{,}8 km, y = 0{,}6 km e portanto z = √(0{,}8²+0{,}6²) = 1 km. Sabemos também que dy/dt = –60 km/h (y diminui) e dz/dt = +20 km/h. Substituindo na relação:
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Portanto 0{,}8·dx/dt = 56 e
Resposta
70 km/h