Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 Km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 Km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 Km / h. Se a viatura está se deslocando a 60 Km / h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?

Passo 1

Vamos modelar a situação: a viatura está a uma distância y(t) ao norte do cruzamento e se mexe no sentido sul, enquanto o fugitivo está a uma distância x(t) a leste do mesmo ponto e corre para o leste. Chamamos de z(t) a distância entre os dois. O conteúdo aqui é aplicações de derivadas de relações implícitas (taxas relacionadas) usando o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Definimos as variáveis e a equação de Pitágoras que liga as distâncias:
z^2 = x^2 + y^2
Isso vem do triângulo retângulo formado pelas projeções ortogonais.

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t para relacionar as velocidades:
2zdzdt = 2xdxdt + 2ydydt
Dividindo por 2 e rearranjando, fica
zdzdt = xdxdt + ydydt

Passo 4

No instante dado temos x = 0{,}8 km, y = 0{,}6 km e portanto z = √(0{,}8²+0{,}6²) = 1 km. Sabemos também que dy/dt = –60 km/h (y diminui) e dz/dt = +20 km/h. Substituindo na relação:
1·20 = 0,8·dxdt + 0,6·(−60)
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20 = 0,8dxdt - 36
Portanto 0{,}8·dx/dt = 56 e
dxdt = 70 km/h

Resposta

70 km/h

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