2 Ptos. Teorema de Stokes
Enúncie o teorema de Stokes e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos o Teorema de Stokes e ilustrá-lo com o cálculo de uma integral de linha. Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, em particular o rotacional de campos vetoriais, integrais de linha e integrais de superfície. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície mais simples de calcular.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície suave S com fronteira fechada C orientada, e para um campo vetorial F com derivadas parciais contínuas em uma região que contém S, vale:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS

Passo 3

Para ilustrar, escolhemos o campo vetorial F(x,y,z)=(-y,,x,,0). Tomamos C como o círculo de raio 1 no plano xy (centro na origem) orientado positivamente (anti-horário visto de cima), e S como o disco de raio 1 cuja fronteira é C, com vetor normal para cima.

Passo 4

Calculamos o rotacional de F. Como P=-y, Q=x e R=0, temos
nabla times F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr) = (0,,0,,2)

Passo 5

A orientação anti-horária de C corresponde ao vetor normal unitário n=(0,0,1). Logo
(nabla times F)cdot n=2

Passo 6

Assim a integral de superfície fica
integral duplaS 2,dS = 2timesárea(S)=2timespitimes1^2=2piá
Pelo Teorema de Stokes concluímos que a integral de linha é igual ao valor da integral de superfície calculada.

Resposta

ointC Fcdot dr = 2pi.

Exercícios relacionados