2 Ptos. Teorema de Stokes
Enúncie o teorema de Stokes e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.
Enúncie o teorema de Stokes e ilustre sua aplição através do cálculo de uma integral de Linha.
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos o Teorema de Stokes e ilustrá-lo com o cálculo de uma integral de linha. Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, em particular o rotacional de campos vetoriais, integrais de linha e integrais de superfície. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície mais simples de calcular.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície suave
com fronteira fechada
orientada, e para um campo vetorial
com derivadas parciais contínuas em uma região que contém
, vale:
Passo 3
Para ilustrar, escolhemos o campo vetorial
. Tomamos
como o círculo de raio 1 no plano
(centro na origem) orientado positivamente (anti-horário visto de cima), e
como o disco de raio 1 cuja fronteira é
, com vetor normal para cima.
Passo 4
Calculamos o rotacional de
. Como
,
e
, temos
Passo 5
A orientação anti-horária de
corresponde ao vetor normal unitário
. Logo
Passo 6
Assim a integral de superfície fica
Pelo Teorema de Stokes concluímos que a integral de linha é igual ao valor da integral de superfície calculada.