INDENTIFIQUE SE A FUNÇÃO ABAIXO É DERIVÁVEL NAS PONTAS e
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Temos
E queremos saber se ela é derivável nos pontos da fronteira |z|=1 dados por za=1 e zb=e^-ipi/2=-i. Para isso, vamos usar que um requisito necessário para derivabilidade é a continuidade em cada ponto.
Passo 2
Verificamos primeiro a continuidade em za=1. O valor da peça interior (|z|≠1) tende a
limzto10,5,(z^2+1)z-i =0,5,21-i =11-i =1+i2
Já o valor definido na fronteira é
f(1)=-1=-1
Como (1+i)/2neq-1, a função não é contínua em z=1 e, portanto, não pode ser derivável ali.
Passo 3
Agora em zb=-i, calculamos o limite pela peça interior: