INDENTIFIQUE SE A FUNÇÃO ABAIXO É DERIVÁVEL NAS PONTAS za=1 e zb=1 e^-i pi / 2
f(z)=ll 0,5(z^2+1)(z-i) ;|z| neq 1 -barz ; & |z|=1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
Temos
f(z)= 0,5,(z^2+1)z-i,&|z|neq1, -overline z,&|z|=1,
E queremos saber se ela é derivável nos pontos da fronteira |z|=1 dados por za=1 e zb=e^-ipi/2=-i. Para isso, vamos usar que um requisito necessário para derivabilidade é a continuidade em cada ponto.

Passo 2

Verificamos primeiro a continuidade em za=1. O valor da peça interior (|z|≠1) tende a
limzto10,5,(z^2+1)z-i =0,5,21-i =11-i =1+i2
Já o valor definido na fronteira é
f(1)=-1=-1
Como (1+i)/2neq-1, a função não é contínua em z=1 e, portanto, não pode ser derivável ali.

Passo 3

Agora em zb=-i, calculamos o limite pela peça interior:
limzto- i0,5,(z^2+1)z-i =0,5,(-i)^2+1-i-i =0,5,-1+1-2i =0
Na fronteira, por definição, temos
f(-i)=--i=-i
Como 0neq -i, não há continuidade em z=-i, logo também não há derivada ali.

Resposta

A função não é derivável nem em za=1 nem em zb=e^-ipi/2.

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