Determine as equações da reta tangente e da reta normal à f no ponto p, onde:
f(x)=1x, p=2,

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal à função f no ponto p=2, onde
f(x)=1x
Para isso, vamos precisar calcular a derivada de f e avaliá-la em x=2, além de determinar as fórmulas ponto-declive das retas.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^-1, aplicamos a regra do poder:
f'(x)=-1cdot x^-2=-1x^2

Passo 3

Avaliamos f e f' em x=2:
f(2)=12, f'(2)=-14
Logo o ponto de tangência é l(2,tfrac12r) e o coeficiente angular da tangente é -tfrac14.

Passo 4

A equação da reta tangente, pela forma y-y0=m(x-x0), é
y-12=-14,(x-2)
Se expandirmos, obtemos a forma reduzida
y=-14x+1

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso do da tangente:
mn=-1-tfrac14=4
Assim, pela forma ponto-declive,
y-12=4,(x-2),
que na forma reduzida fica
y=4x-152

Resposta

Reta tangente:
y-12=-14(x-2)
ou
y=-14x+1.
Reta normal:
y-12=4(x-2)
ou
y=4x-152.

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