Dois matemáticos saíram para comer uma pizza. Para decidir quem pagaria a conta, eles resolveram lançar uma moeda 4 vezes: se NÃO aparecessem duas caras seguidas, Alfredo pagaria a conta, caso contrário Orlando pagaria. Qual é a probabilidade
de Alfredo pagar a conta?
Passo 1
Beleza, o enunciado manda jogar uma moeda 4 vezes. Se NÃO aparecerem duas caras seguidas (HH) ao longo dessas 4 jogadas, o Alfredo paga; se aparecer pelo menos uma vez HH, é o Orlando que paga.
Conteúdo: probabilidade básica + contagem de sequências (combinatória/recorrência).
O que vamos usar:
Conteúdo: probabilidade básica + contagem de sequências (combinatória/recorrência).
O que vamos usar:
- Espaço amostral de todas as sequências de 4 lançamentos (cada lançamento tem 2 opções: cara ou coroa).
- Contar quantas sequências não têm “HH” como substring.
- Dividir “favoráveis” por “total” para achar a probabilidade.
Passo 2
Primeiro, qual é o total de resultados possíveis ao lançar a moeda 4 vezes?
Cada lançamento tem 2 resultados (C ou K), então no total são
Cada lançamento tem 2 resultados (C ou K), então no total são
sequências possíveis (todas igualmente prováveis).
Passo 3
Agora a parte de contar só as sequências sem “HH”. A gente pode fazer isso com uma pequena recursão:
Defina = número de sequências de comprimento
sem duas caras seguidas.
– Se uma sequência de tamanho termina em coroa (K), o prefixo (os primeiros
lançamentos) pode ser qualquer sequência sem “HH”: são
casos.
– Se termina em cara ©, então a jogada anterior NÃO pode ser cara (senão formaria “HH”), ou seja, o penúltimo tem que ser coroa. Então os primeiros lançamentos podem ser qualquer sequência sem “HH”:
casos.
Logo a relação é
Defina
– Se uma sequência de tamanho
– Se termina em cara ©, então a jogada anterior NÃO pode ser cara (senão formaria “HH”), ou seja, o penúltimo tem que ser coroa. Então os primeiros
Logo a relação é
Precisamos de
. Para isso, achamos as bases:
-
: 1 lançamento, pode ser C ou K, então . -
: 2 lançamentos sem “HH” são: KK, KC, CK. (CC não vale). Então .
Agora:
Ou seja, há 8 sequências de 4 lançamentos que não contêm “HH”.
Passo 4
A probabilidade
de o Alfredo pagar é (sequências sem HH) / (todas as sequências):