Dois matemáticos saíram para comer uma pizza. Para decidir quem pagaria a conta, eles resolveram lançar uma moeda 4 vezes: se NÃO aparecessem duas caras seguidas, Alfredo pagaria a conta, caso contrário Orlando pagaria. Qual é a probabilidade p in[0,1] de Alfredo pagar a conta?

Passo 1

Beleza, o enunciado manda jogar uma moeda 4 vezes. Se NÃO aparecerem duas caras seguidas (HH) ao longo dessas 4 jogadas, o Alfredo paga; se aparecer pelo menos uma vez HH, é o Orlando que paga.
Conteúdo: probabilidade básica + contagem de sequências (combinatória/recorrência).
O que vamos usar:
  • Espaço amostral de todas as sequências de 4 lançamentos (cada lançamento tem 2 opções: cara ou coroa).
  • Contar quantas sequências não têm “HH” como substring.
  • Dividir “favoráveis” por “total” para achar a probabilidade.

Passo 2

Primeiro, qual é o total de resultados possíveis ao lançar a moeda 4 vezes?
Cada lançamento tem 2 resultados (C ou K), então no total são
2^4 = 16
sequências possíveis (todas igualmente prováveis).

Passo 3

Agora a parte de contar só as sequências sem “HH”. A gente pode fazer isso com uma pequena recursão:
Defina an = an-1 + an-2 = número de sequências de comprimento a3 = a2 + a1 = 3 + 2 = 5, sem duas caras seguidas.
– Se uma sequência de tamanho a4 = a3 + a2 = 5 + 3 = 8 termina em coroa (K), o prefixo (os primeiros lançamentos) pode ser qualquer sequência sem “HH”: são casos.
– Se termina em cara ©, então a jogada anterior NÃO pode ser cara (senão formaria “HH”), ou seja, o penúltimo tem que ser coroa. Então os primeiros lançamentos podem ser qualquer sequência sem “HH”: casos.
Logo a relação é
Precisamos de . Para isso, achamos as bases:
  • : 1 lançamento, pode ser C ou K, então .
  • : 2 lançamentos sem “HH” são: KK, KC, CK. (CC não vale). Então .
Agora:
Ou seja, há 8 sequências de 4 lançamentos que não contêm “HH”.

Passo 4

A probabilidade p = a42^4 = 816 = 12 de o Alfredo pagar é (sequências sem HH) / (todas as sequências):

Resposta

p = tfrac12

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