[Dois máximos locais e nenhum mínimo local]
Mostre que
; possui dois máximos locais e nenhum mínimo local;
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
(com
,
), e depois analisar a natureza (mínimo, máximo ou ponto de sela) desses pontos usando o teste da Hessiana.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
e
:
Dividindo a primeira pela segunda:
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo em
:
- Se
, vem , logo e com mesmo sinal. Assim obtemos dois pontos: e . - Se
, então não tem solução real.
Portanto os únicos pontos críticos reais sãoe .
Passo 5
Agora vamos ao teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
Passo 6
Avaliação em
:
O determinante da Hessiana é
e
. Logo
é ponto de mínimo local.
Passo 7
Avaliação em
:
Novamente
e
, de modo que
também é mínimo local.
Passo 8
Concluindo, ao contrário do que diz o enunciado,
não tem máximos locais: ela possui exatamente dois mínimos locais em
e
, e não há nenhum ponto de máximo local.
Portanto, a afirmação do enunciado está invertida: são dois mínimos locais e nenhum máximo local.
Portanto, a afirmação do enunciado está invertida: são dois mínimos locais e nenhum máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são (1,1) e (–1,–1). Em ambos a Hessiana é definida positiva (determinante >0 e fₓₓ>0), logo são mínimos locais. Não há máximos locais.