[Dois máximos locais e nenhum mínimo local]
Mostre que f(x, y)=x^2+2x y+y^2 ; x neq 0 e y neq 0; possui dois máximos locais e nenhum mínimo local;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x^2+y^2+2xy (com xneq0, yneq0), e depois analisar a natureza (mínimo, máximo ou ponto de sela) desses pontos usando o teste da Hessiana.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de f:
fx=partial fpartial x=2x-2x^2y,
fy=partial fpartial y=2y-2xy^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos fx=0 e fy=0:
2x=2x^2yRightarrow x^3y=1,
2y=2xy^2Rightarrow xy^3=1
Dividindo a primeira pela segunda: x^2=y^2, ou seja, y=pm x.

Passo 4

Substituindo em x^3y=1:
  • Se y=x, vem x^4=1, logo x=pm1 e y=pm1 com mesmo sinal. Assim obtemos dois pontos: (1,1) e (-1,-1).
  • Se y=-x, então x^3(-x)=-x^4=1 não tem solução real.
    Portanto os únicos pontos críticos reais são (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Agora vamos ao teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
fxx=2+4x^3y,
fyy=2+4xy^3,
fxy=2x^2y^2=fyx

Passo 6

Avaliação em (1,1):
fxx(1,1)=2+4=6,
fyy(1,1)=2+4=6,
fxy(1,1)=2
O determinante da Hessiana é
D= fxxfyy-fxy^2=6cdot6-2^2=36-4=32>0
e fxx(1,1)>0. Logo (1,1) é ponto de mínimo local.

Passo 7

Avaliação em (-1,-1):
fxx(-1,-1)=2+4(-1)^3(-1)=2+4=6,
fyy(-1,-1)=2+4(-1)(-1)^3=2+4=6,
fxy(-1,-1)=2
Novamente
D=6cdot6-2^2=32>0
e fxx(-1,-1)>0, de modo que (-1,-1) também é mínimo local.

Passo 8

Concluindo, ao contrário do que diz o enunciado, f não tem máximos locais: ela possui exatamente dois mínimos locais em (1,1) e (-1,-1), e não há nenhum ponto de máximo local.
Portanto, a afirmação do enunciado está invertida: são dois mínimos locais e nenhum máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são (1,1) e (–1,–1). Em ambos a Hessiana é definida positiva (determinante >0 e fₓₓ>0), logo são mínimos locais. Não há máximos locais.

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