A temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medido em
e
em metros.
Encontre a taxa máxima de crescimento em
.
Encontre a taxa máxima de crescimento em
Passo 1
A questão pede a taxa máxima de crescimento de T num ponto P. O conteúdo é derivadas parciais e gradiente: sabemos que, para uma função T(x,y), a direção de crescimento máximo é dada pelo gradiente ∇T e a taxa máxima é o seu módulo.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de T(x,y)=e{-x{2}-3y^{2}}. Para ∂T/∂x usamos regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}·u’. Aqui u=-x{2}-3y{2}, então u’ em relação a x é -2x. Logo
Passo 3
De modo análogo, para ∂T/∂y temos u’ em relação a y é -6y, então
Passo 4
A taxa máxima de crescimento no ponto P é o módulo do vetor gradiente em P:
Substituindo as derivadas:
Resposta
A taxa máxima de crescimento em P é