A temperatura em um ponto (x, y) é dada por T(x, y)=e^-x^2-3 y^2 onde T é medido em ^circ C e x, y em metros.
Encontre a taxa máxima de crescimento em P.

Passo 1

A questão pede a taxa máxima de crescimento de T num ponto P. O conteúdo é derivadas parciais e gradiente: sabemos que, para uma função T(x,y), a direção de crescimento máximo é dada pelo gradiente ∇T e a taxa máxima é o seu módulo.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de T(x,y)=e{-x{2}-3y^{2}}. Para ∂T/∂x usamos regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}·u’. Aqui u=-x{2}-3y{2}, então u’ em relação a x é -2x. Logo
partial Tpartial x = e^-x^2-3y^2 cdot (-2x) = -2x,e^-x^2-3y^2

Passo 3

De modo análogo, para ∂T/∂y temos u’ em relação a y é -6y, então
partial Tpartial y = e^-x^2-3y^2 cdot (-6y) = -6y,e^-x^2-3y^2

Passo 4

A taxa máxima de crescimento no ponto P é o módulo do vetor gradiente em P:
llVertnabla T(P)rrVert = ,raizl(partial Tpartial x(P)r)^2 + l(partial Tpartial y(P)r)^2
Substituindo as derivadas:
llVertnabla T(P)rrVert = raizl(-2x,e^-x^2-3y^2r)^2 + l(-6y,e^-x^2-3y^2r)^2 = e^-x^2-3y^2,raiz4x^2 + 36y^2

Resposta

A taxa máxima de crescimento em P é
e^-x^2-3y^2,raiz4x^2+36y^2

Exercícios relacionados