Verifique que
nos infinitos pontos críticos da função real:
; tornando inconclusivo o Teste das derivadas parciais de
ordem. Contudo, mostre apenas analisando sua definição que
assume seu valor mínimo absoluto em seus pontos críticos;
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o determinante do Hessiano de
é zero em todos os pontos críticos, o que torna o teste de segunda ordem inconclusivo, e depois mostrar diretamente que esses pontos críticos são de mínimo absoluto.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de
:
Igualando-as a zero ficamos com o sistema
Da primeira equação vem
Passo 3
Para analisar diretamente o comportamento de
, escrevemos
Reconhecemos aí um quadrado perfeito:
Portanto
Passo 4
Como
é sempre
, deduzimos que
para todo
Resposta
A função assume seu valor mínimo absoluto igual a 2 em todos os pontos críticos definidos por
.