Verifique que D=0 nos infinitos pontos críticos da função real: f(x, y)=2+x^2+4 y^2-4 x y; tornando inconclusivo o Teste das derivadas parciais de 2^a ordem. Contudo, mostre apenas analisando sua definição que f(x, y) assume seu valor mínimo absoluto em seus pontos críticos;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o determinante do Hessiano de
f(x,y)=2+x^2+4y^2-4xy
é zero em todos os pontos críticos, o que torna o teste de segunda ordem inconclusivo, e depois mostrar diretamente que esses pontos críticos são de mínimo absoluto.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de f:
fx=2x-4y,
fy=8y-4x
Igualando-as a zero ficamos com o sistema
2x-4y=0,
8y-4x=0
Da primeira equação vem x=2y. Substituindo na segunda vemos que ela se satisfaz para qualquer y. Logo, há infinitos pontos críticos na reta
x=2y

Passo 3

Para analisar diretamente o comportamento de f, escrevemos
f(x,y)-2 = x^2+4y^2-4xy
Reconhecemos aí um quadrado perfeito:
x^2-4xy+4y^2 = (x-2y)^2
Portanto
f(x,y)=2+(x-2y)^2

Passo 4

Como (x-2y)^2 é sempre >=0, deduzimos que
f(x,y)>=2
para todo (x,y), e a igualdade ocorre exatamente quando x-2y=0, isto é, nos pontos críticos. Assim esses pontos são de mínimo absoluto de f.

Resposta

A função assume seu valor mínimo absoluto igual a 2 em todos os pontos críticos definidos por x=2y.

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