Dois meios dielétricos com constantes dielétricas \kappa_{1} e \kappa_{2} estão separados por uma interface plana. Não existe carga externa sobre a interface. Mostre que a relação entre os ângulos \theta_{1} e \theta_{2}, onde estes ângulos são definidos por uma linha arbitrária de deslocamento com a normal a interface, e dado por:
\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}}
Considere \theta_{1} e \theta_{2} estão relacionados ao meio 1 e ao meio 2 , respectivamente.

Passo 1

O enunciado descreve dois meios dielétricos, com constantes \kappa_{1} e \kappa_{2}, separados por uma interface plana sem carga livre. Para relacionar os ângulos \theta_{1} e \theta_{2} formados pelos vetores de deslocamento \mathbf{D} com a normal à interface, vamos usar as condições de contorno eletrostáticas:
  1. A componente normal de \mathbf{D} é contínua.
  2. A componente tangencial de \mathbf{E} é contínua.
    Como \mathbf{E}=\mathbf{D}/(\varepsilon_{0}\kappa), essas condições nos dão as equações que ligam as componentes de \mathbf{D} em cada meio.

Passo 2

Condição de contorno para a componente normal de \mathbf{D}:
D_{1n}=D_{2n}
Em termos dos ângulos \theta_{1} e \theta_{2}, escrevemos
D_{1}\cos\theta_{1}=D_{2}\cos\theta_{2}

Passo 3

Condição de contorno para a componente tangencial de \mathbf{E}:
E_{1t}=E_{2t}
Como E_{it}=D_{i}\sin\theta_{i}/(\varepsilon_{0}\kappa_{i}), temos
\frac{D_{1}\sin\theta_{1}}{\varepsilon_{0}\kappa_{1}} = \frac{D_{2}\sin\theta_{2}}{\varepsilon_{0}\kappa_{2}}
Cancelando \varepsilon_{0} de ambos os lados:
\frac{D_{1}\sin\theta_{1}}{\kappa_{1}} = \frac{D_{2}\sin\theta_{2}}{\kappa_{2}}

Passo 4

Para eliminar D_{1} e D_{2}, dividimos a equação da componente normal pela da componente tangencial:
\frac{D_{1}\cos\theta_{1}}{\,D_{1}\sin\theta_{1}/\kappa_{1}\,} = \frac{D_{2}\cos\theta_{2}}{\,D_{2}\sin\theta_{2}/\kappa_{2}\,}
Isso leva a
\frac{\kappa_{1}\cos\theta_{1}}{\sin\theta_{1}} = \frac{\kappa_{2}\cos\theta_{2}}{\sin\theta_{2}}
e, portanto,
\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}} = \frac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}

Resposta

\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}} = \frac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}

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