Problerna 1. Urn barra de dielétrico com a forma de um cilindro circular reto de comprimento L e raio R se polariza na direção de seu comprimento. Se a polarização for uniforme e de modulo |\vec{P}|, calcule o potencial elétrico resultante num ponto sobre o eixo da barra.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de material dielétrico, de comprimento L e raio R, polarizado uniformemente ao longo do seu eixo ( \vec P = P\,\hat z). Queremos o potencial elétrico V num ponto qualquer sobre o mesmo eixo (coordenada z), tomando V(\infty)=0. Para resolver, vamos usar a ideia de cargas ligadas e o potencial de um disco carregado.

Passo 2

Calculamos as cargas ligadas. A densidade de carga volumétrica ligada é
\rho_b = -\nabla\cdot \vec P = 0
pois \vec P é uniforme. A densidade de carga de superfície ligada é
\sigma_b = \vec P\cdot \hat n\,.
No cilindro só aparecem duas superfícies relevantes: as faces circulares nos planos z=0 e z=L.

Passo 3

Em z=0 a normal externa vale \hat n=-\hat z, logo
\sigma_{b,\,z=0} = \vec P\cdot(-\hat z) = -P\,.
Em z=L a normal vale \hat n=+\hat z, logo
\sigma_{b,\,z=L} = \vec P\cdot\hat z = +P\,.
Não há carga ligada na superfície lateral porque ali \hat n é radial e \vec P é axial, então \vec P\cdot\hat n=0.

Passo 4

O potencial no ponto de eixo z devido a um disco de raio R e densidade \sigma, situado num plano a distância a do ponto, é
V_{\rm disco}(a) =\frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}\,\Bigl(\sqrt{R^2+a^2}-a\Bigr)\,.
No nosso caso temos dois discos:
  • Disco em z=0 com \sigma=-P e a=z.
  • Disco em z=L com \sigma=+P e a=|z-L|.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
V(z) = \frac{-P}{2\,\varepsilon_0}\Bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\Bigr) + \frac{\,P\,}{2\,\varepsilon_0}\Bigl(\sqrt{R^2+(z-L)^2}-|z-L|\Bigr).
Podemos reunir fatores para dar a forma compacta
V(z) =\frac{P}{2\,\varepsilon_0}\Bigl[\sqrt{R^2+(z-L)^2}-|z-L|-\sqrt{R^2+z^2}+z\Bigr].

Resposta

V(z) =\frac{P}{2\,\varepsilon_0}\Bigl[\sqrt{R^2+(z-L)^2}-|z-L|-\sqrt{R^2+z^2}+z\Bigr].

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