( 2,0 \mathrm{pt} ) Se \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(8,0 \mathrm{~mm}) sen [\mathrm{kx}-(75 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}] descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos \mathrm{y}_{1}=+3 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{y}_{2}=-3 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado diz que a corda vibra segundo
y(x,t) = (8{,}0\\ \mathrm{mm})\;\sin\bigl[kx - (75\\ \mathrm{rad/s})\,t\bigr]
ou seja, cada ponto executa um movimento harmônico simples de amplitude A = 8{,}0\\ \mathrm{mm} e frequência angular \omega = 75\\ \mathrm{rad/s}. Precisamos achar o intervalo de tempo \Delta t = t_2 - t_1 para que um mesmo ponto passe de
y_1 = +3\\ \mathrm{mm} \quad\text{até}\quad y_2 = -3\\ \mathrm{mm}.é

Passo 2

Escolhendo um ponto fixo x, definimos o argumento de seno como
\varphi(t) = \phi_0 - \omega\,t,
onde \phi_0 = kx é constante. Então
y(t) = A\,\sin\!\bigl(\varphi(t)\bigr).
Em t_1 vale \sin\phi_1 = y_1/A = \tfrac{3}{8} e em t_2 vale \sin\phi_2 = y_2/A = -\tfrac{3}{8}.

Passo 3

Para \sin\phi_1 = +\tfrac{3}{8} tomamos o valor principal
\phi_1 = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr).
Como \varphi(t) decresce com t, o primeiro instante em que \sin\varphi = -\tfrac{3}{8} ocorre em
\phi_2 = -\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr).
Logo a variação de fase é
\Delta\varphi = \phi_1 - \phi_2 = 2\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr).
E o tempo correspondente é
\Delta t = \frac{\Delta\varphi}{\omega} = \frac{2\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr)}{75\\ \mathrm{rad/s}}.

Passo 4

Calculando numericamente
\arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr)\approx 0{,}384\\ \mathrm{rad},
então
\Delta t \approx \frac{2\times 0{,}384}{75} = \frac{0{,}768}{75} \approx 0{,}01024\\ \mathrm{s} = 10{,}24\\ \mathrm{ms}.

Resposta

\Delta t \approx 1,02\times 10^{-2}\\ \mathrm{s}\quad(10{,}2\\ \mathrm{ms})

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