Uma espira quadrada é fixada no plano \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}, cujos vértices são os pontos p_{1}=(a, a, 0), p_{2}=(-a, a, 0), p_{3}=(-a,-a, 0) e p_{4}=(a,-a, 0). Pela espira circula uma corrente constante I, determine o campo magnético gerado por este arranjo no ponto p=(0,0, b), onde b>a.

Passo 1

O enunciado dá uma espira quadrada de lado 2a no plano xy, com correntes fluindo pelos vértices
p_{1}=(a,a,0)\to p_{2}=(-a,a,0)\to p_{3}=(-a,-a,0)\to p_{4}=(a,-a,0)\to p_{1},
e pede o campo magnético no ponto
p=(0,0,b),\quad b>a.
O conteúdo usado será a Lei de Biot–Savart e a expressão do campo de um fio retilíneo finito.

Passo 2

A Lei de Biot–Savart para um elemento de corrente é
d\mathbf B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\,\frac{d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}}{r^{2}}.
Para um fio reto finito, de comprimento entre pontos A e B, a magnitude do campo a uma distância perpendicular d do fio é
B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi\,d}\,\bigl(\sin\theta_{A}+\sin\theta_{B}\bigr),
onde \theta_{A} e \theta_{B} são os ângulos entre a perpendicular e as retas que ligam o ponto P a A e a B.

Passo 3

Considere o segmento superior de p_{2} a p_{1}. O ponto mais próximo dele é
\,(0,a,0),
logo a distância perpendicular é
d=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-a)^{2}+(b-0)^{2}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
As distâncias do ponto P aos extremos são iguais:
r_{1}=|P-p_{1}|=\sqrt{(-a)^{2}+(-a)^{2}+b^{2}} =\sqrt{2a^{2}+b^{2}}, \quad r_{2}=|P-p_{2}|=\sqrt{2a^{2}+b^{2}}.
Logo
\sin\theta_{1}=\sin\theta_{2}=d/r_{1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do fio finito, a magnitude do campo devido a esse lado é
B_{\rm lado} =\frac{\mu_{0}I}{4\pi\,d}\,\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr) =\frac{\mu_{0}I}{4\pi\,d}\,2\frac{d}{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}.

Passo 5

A direção de \mathbf B_{\rm lado} está num plano perpendicular ao segmento e contém z. Em particular, para o lado superior obtém-se
\mathbf B_{\rm lado} com componente em z igual a
B_{z,\,\rm lado} =B_{\rm lado}\,\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}\;\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 6

Pelos quatro lados essa contribuição é idêntica e soma-se, dando
B_{z} =4\,B_{z,\,\rm lado} =\frac{4\,\mu_{0}I}{2\pi}\;\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;\sqrt{2a^{2}+b^{2}}} =\frac{2\,\mu_{0}I\,a}{\pi\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}.
O vetor campo está apontando no sentido +z.

Resposta

\boxed{ \mathbf B(0,0,b) =\frac{2\,\mu_{0}\,I\,a}{\pi\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}\;\hat{\mathbf z} }.

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