Dois meninos brincam de bola na rua, quando um chuta a bolo para o outro; a bola percorre o trajeto descrito pela equação
, onde
e
são dados em metros. Represente graficamente essa situação e determine:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?
Passo 1
Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda): a bola descreve a trajetória dada pela parábola
onde
e
estão em metros. O enunciado pede duas coisas:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?
Dados importantes extraídos do enunciado:
(unidades em metros).
As perguntas são: encontrar a altura máxima (valor máximo de ) e a distância horizontal entre os dois meninos (pontos onde a bola toca o chão, isto é, onde
).
As perguntas são: encontrar a altura máxima (valor máximo de
Passo 2
Entendendo geometricamente o que representar graficamente (como esboçar a parábola):
- A equação
é uma parábola com coeficiente de negativo ( ), logo abre para baixo — isso significa que existe um ponto máximo (vértice). - Os pontos onde a bola toca o chão correspondem às interseções com o eixo
, i.e., soluções de . - O vértice da parábola dá a coordenada
do ponto mais alto da trajetória; esse é a altura máxima que queremos.
Para esboçar: marcar os interceptos com o eixo(raízes), marcar o vértice e desenhar uma parábola simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice.
Passo 3
Como achar o vértice (explicando a fórmula e uma maneira prática):
A forma geral de uma parábola é . O
-do-vértice é dado por
A forma geral de uma parábola é
Explicação dessa fórmula (intuição simples): a parábola é simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice; essa reta está no “meio” das raízes, e a fórmula
vem da derivada ou do processo de completar quadrado — é a abscissa que anula a derivada
. Aqui
e
.
Calculemos:
Passo 4
Encontrar a altura máxima
substituindo
na função:
Substituímos em
:
Substituímos
Calcule passo a passo:
então
Compute:
Portanto o vértice é
e a altura máxima atingida pela bola é
metros.
Observação didática curta: outra forma de ver o vértice é completar o quadrado para escrever a parábola na forma vértice
; se quiser eu mostro esse processo também.
Passo 5
Agora vamos encontrar onde a bola toca o chão, ou seja, resolver
para achar as posições horizontais dos meninos:
Resolvemos a equação
Resolvemos a equação
Para simplificar, divido ambos os lados por
(número não nulo), ficando
Essa é uma quadrática simples que pode ser fatorada: procuramos dois números que multiplicam
e somam
; são
e
. Assim:
Logo as raízes são
Passo 6
Interpretação das raízes e cálculo da distância entre os meninos:
As raízes e
representam os pontos no eixo
onde
, ou seja, onde a bola toca o chão — um menino em
e o outro em
(medidos na mesma unidade: metros).
A distância horizontal entre esses dois pontos (distância entre os meninos ao nível do chão) é a diferença absoluta entre as abscissas:
As raízes
A distância horizontal entre esses dois pontos (distância entre os meninos ao nível do chão) é a diferença absoluta entre as abscissas:
Portanto a bola percorreu horizontalmente
metros entre os meninos.
Comentário prático: aqui interpretamos “distância entre os dois meninos percorrida pela bola” como a distância horizontal ao solo entre os pontos onde a bola foi recebida e chutada (pontos onde
). Se o enunciado pedisse o comprimento da curva da trajetória (comprimento de arco), precisaríamos de cálculo integral e mais informação; mas normalmente em problemas escolares essa distância é a distância entre as raízes, como fizemos.
Passo 7
Resumo e checagem rápida de unidades e coerência:
- A parábola abre para baixo (
), então faz sentido ter um máximo. - Vértice em
e → altura máxima metros (plausível para uma brincadeira). - Raízes em
e → distância horizontal entre meninos metros.
Tudo coerente em metros.