Dois meninos brincam de bola na rua, quando um chuta a bolo para o outro; a bola percorre o trajeto descrito pela equação y=-2 x^{2}+8 x-6, onde x e y são dados em metros. Represente graficamente essa situação e determine:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?

Passo 1

Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda): a bola descreve a trajetória dada pela parábola
y=-2x^{2}+8x-6,
onde x e y estão em metros. O enunciado pede duas coisas:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a distância entre os dois meninos percorrida pela bola?
Dados importantes extraídos do enunciado:
\;y=-2x^{2}+8x-6 (unidades em metros).
As perguntas são: encontrar a altura máxima (valor máximo de y) e a distância horizontal entre os dois meninos (pontos onde a bola toca o chão, isto é, onde y=0).

Passo 2

Entendendo geometricamente o que representar graficamente (como esboçar a parábola):
  • A equação \;y=-2x^{2}+8x-6\; é uma parábola com coeficiente de x^{2} negativo ( a=-2), logo abre para baixo — isso significa que existe um ponto máximo (vértice).
  • Os pontos onde a bola toca o chão correspondem às interseções com o eixo x, i.e., soluções de \;y=0.
  • O vértice da parábola dá a coordenada (x_{\text{v}},y_{\text{v}}) do ponto mais alto da trajetória; esse y_{\text{v}} é a altura máxima que queremos.
    Para esboçar: marcar os interceptos com o eixo x (raízes), marcar o vértice e desenhar uma parábola simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice.

Passo 3

Como achar o vértice (explicando a fórmula e uma maneira prática):
A forma geral de uma parábola é \;y=ax^{2}+bx+c\;. O x-do-vértice é dado por
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}.
Explicação dessa fórmula (intuição simples): a parábola é simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice; essa reta está no “meio” das raízes, e a fórmula -b/(2a) vem da derivada ou do processo de completar quadrado — é a abscissa que anula a derivada y'. Aqui a=-2 e b=8.
Calculemos:
x_{\text{v}}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{-4}=2.

Passo 4

Encontrar a altura máxima y_{\text{v}} substituindo x_{\text{v}} na função:
Substituímos x=2 em \;y=-2x^{2}+8x-6:
y_{\text{v}}=-2\cdot(2)^{2}+8\cdot2-6.
Calcule passo a passo:
(2)^{2}=4,
-2\cdot4=-8,
8\cdot2=16,
então
y_{\text{v}}=-8+16-6.
Compute:
-8+16=8,
8-6=2.
Portanto o vértice é (2,2) e a altura máxima atingida pela bola é \;y_{\text{v}}=2 metros.
Observação didática curta: outra forma de ver o vértice é completar o quadrado para escrever a parábola na forma vértice \;y=a(x-h)^{2}+k; se quiser eu mostro esse processo também.

Passo 5

Agora vamos encontrar onde a bola toca o chão, ou seja, resolver \;y=0 para achar as posições horizontais dos meninos:
Resolvemos a equação
-2x^{2}+8x-6=0.
Para simplificar, divido ambos os lados por -2 (número não nulo), ficando
x^{2}-4x+3=0.
Essa é uma quadrática simples que pode ser fatorada: procuramos dois números que multiplicam 3 e somam -4; são -1 e -3. Assim:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes são
x=1\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 6

Interpretação das raízes e cálculo da distância entre os meninos:
As raízes \;x=1 e \;x=3 representam os pontos no eixo x onde y=0, ou seja, onde a bola toca o chão — um menino em x=1 e o outro em x=3 (medidos na mesma unidade: metros).
A distância horizontal entre esses dois pontos (distância entre os meninos ao nível do chão) é a diferença absoluta entre as abscissas:
\Delta x=|3-1|=2.
Portanto a bola percorreu horizontalmente 2 metros entre os meninos.
Comentário prático: aqui interpretamos “distância entre os dois meninos percorrida pela bola” como a distância horizontal ao solo entre os pontos onde a bola foi recebida e chutada (pontos onde y=0). Se o enunciado pedisse o comprimento da curva da trajetória (comprimento de arco), precisaríamos de cálculo integral e mais informação; mas normalmente em problemas escolares essa distância é a distância entre as raízes, como fizemos.

Passo 7

Resumo e checagem rápida de unidades e coerência:
  • A parábola abre para baixo ( a=-2), então faz sentido ter um máximo.
  • Vértice em x=2 e y=2 → altura máxima \;2 metros (plausível para uma brincadeira).
  • Raízes em x=1 e x=3 → distância horizontal entre meninos \;2 metros.
    Tudo coerente em metros.

Resposta

\text{Altura máxima} = 2\\ \text{m}á
\text{Distância entre os meninos} = 2\\ \text{m}â

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