Uma função quadrática passa pelos pontos (1,-2),(3,0) e (4,7). Determine:
a) a expressão algébrica da função;
b) os zeros da função;
c) o ponto do vértice;
d) o esboço do gráfico;
e) o conjunto imagem da função.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre uma função quadrática que passa pelos pontos (1,-2), (3,0) e (4,7). Mais especificamente:
a) Determinar a expressão algébrica da função.
b) Encontrar os zeros (raízes) da função.
c) Determinar o ponto do vértice.
d) Fazer um esboço do gráfico (descrever como esboçar).
e) Determinar o conjunto imagem (range) da função.
Informações fornecidas (pegar direto do enunciado):
(1,-2),\quad (3,0),\quad (4,7).
Passo 2
Modelo geral de uma função quadrática e significado dos coeficientes.
Qualquer função quadrática pode ser escrita na forma padrão
f(x)=ax^{2}+bx+c,
onde:
\,a é o coeficiente do termo quadrático e decide se a parábola abre para cima (a>0) ou para baixo (a<0);
\,b é o coeficiente do termo linear e controla a inclinação/simetria;
\,c é o termo constante e é o valor f(0) (interseção com o eixo y).
Como a função passa por três pontos, podemos substituir cada ponto na forma geral para obter um sistema de três equações para encontrar a,b,c. Substituindo os pontos dados:
Para (1,-2):
a\cdot 1^{2}+b\cdot 1 + c = -2 \quad\Rightarrow\quad a+b+c=-2.
Para (3,0):
a\cdot 3^{2}+b\cdot 3 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 9a+3b+c=0.
Para (4,7):
a\cdot 4^{2}+b\cdot 4 + c = 7 \quad\Rightarrow\quad 16a+4b+c=7.
Resolver o sistema por eliminação (passo a passo, sem pular contas).
Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar c:
(9a+3b+c)-(a+b+c)=8a+2b=0-(-2)=2.
Logo
8a+2b=2 \quad\Rightarrow\quad 4a+b=1. \tag{1}
Subtraio a segunda da terceira para eliminar c:
(16a+4b+c)-(9a+3b+c)=7a+b=7-0=7.
Logo
7a+b=7. \tag{2}
Agora subtraio (1) de (2) para eliminar b:
(7a+b)-(4a+b)=3a=7-1=6 \quad\Rightarrow\quad a=2.
Com a=2 uso (1) para achar b:
4\cdot 2 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad 8 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = -7.
Com a=2 e b=-7 uso a primeira equação para achar c:
a+b+c=-2 \quad\Rightarrow\quad 2 + (-7) + c = -2 \quad\Rightarrow\quad -5 + c = -2 \quad\Rightarrow\quad c = 3.
Portanto os coeficientes são a=2, b=-7, c=3 e a função é
f(x)=2x^{2}-7x+3.
Passo 4
(Ensino rápido sobre zeros) Para achar os zeros de uma quadrática usamos fatoração quando possível ou a fórmula de Bhaskara. Fatorar é rápido quando os fatores são inteiros racionais.
Tento fatorar 2x^{2}-7x+3. Procuro fatores de 2x^{2} e 3 que combinem para dar -7x. Testando,
(2x-1)(x-3)=2x^{2}-6x-x+3=2x^{2}-7x+3,
portanto a fatoração deu certo.
Assim os zeros são as raízes da equação (2x-1)(x-3)=0, ou seja:
ou seja a parábola é a vezes um quadrado deslocado, e o quadrado atinge mínimo quando x=-\frac{b}{2a}. O valor de y no vértice (ordenada) é o valor mínimo (se a>0) obtido substituindo esse x em f.
Para nossos coeficientes a=2 e b=-7:
x_{v}=-\frac{-7}{2\cdot 2}=\frac{7}{4}.
Agora calculo y_{v}=f\!\left(\frac{7}{4}\right). Faço passo a passo:
Como a=2>0, a parábola abre para cima e esse vértice é um mínimo.
Passo 6
(Esboço do gráfico — instruções práticas para desenhar no caderno/prova)
Pontos importantes para marcar no esboço:
Zeros: \left(\tfrac{1}{2},0\right) e (3,0).
Vértice: \left(\tfrac{7}{4},-\tfrac{25}{8}\right) (isto é x=1,75, y\approx-3,125).
Interseção com o eixo y: f(0)=c=3, ponto (0,3).
Pontos fornecidos de checagem: (1,-2) e (4,7) (confere com a função).
Como desenhar:
Faça eixos x e y.
Marque os pontos indicados: (\tfrac{1}{2},0), (3,0), (0,3), (1,-2), (4,7) e o vértice (\tfrac{7}{4},-\tfrac{25}{8}).
Trace a reta eixo de simetria x=\tfrac{7}{4} como guia (opcional, traço pontilhado).
Desenhe uma curva em U que passe pelos pontos e tenha o mínimo no vértice; lembre que para x\to\pm\infty, f(x)\to +\infty porque a>0.
Isso é o esboço geométrico requerido.
Passo 7
(Conjunto imagem — razão)
Como a parábola abre para cima (a=2>0) e o vértice dá o valor mínimo y_{v}=-\tfrac{25}{8}, o conjunto imagem (range) é todos os valores de y maiores ou iguais a esse mínimo:
(Verificação rápida de consistência — só para garantir que nada escapou)
f(1)=2-7+3=-2 (confere (1,-2)).
f(3)=18-21+3=0 (confere (3,0)).
f(4)=32-28+3=7 (confere (4,7)).
Resposta
a) f(x)=2x^{2}-7x+3
b) zeros: x=\dfrac{1}{2} e x=3
c) vértice: \left(\dfrac{7}{4},-\dfrac{25}{8}\right)
d) esboço: parábola em U (abre para cima), eixo de simetria x=\dfrac{7}{4}; passa por \left(\dfrac{1}{2},0\right),\,(3,0),\,(0,3),\,(1,-2),\,(4,7) com mínimo em \left(\dfrac{7}{4},-\dfrac{25}{8}\right)