A função gamma é denotado por (\Gamma(p) e definida pela integral \Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x.
Mostre que, para p>0, \Gamma(p+1)=p \Gamma(p).
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{0}^{A} e^{-x} x^{p} d x, \quad p>-1
Queremos mostrar: \Gamma(p+1)=p \Gamma(p) para p>0.
Façamos integração por partes no intervalo [0, A]. Tome
u=x^{p} \quad \Rightarrow \quad d u=p x^{p-1} d x, \quad d v=e^{-x} d x \quad \Rightarrow \quad v=-e^{-x}
Então
\begin{aligned} \int_{0}^{A} e^{-x} x^{p} d x & =-\left.x^{p} e^{-x}\right|_{0} ^{A}+p \int_{0}^{A} x^{p-1} e^{-x} d x \\\ & =-A^{p} e^{-A}+0+p \int_{0}^{A} x^{p-1} e^{-x} d x \end{aligned}
Para p>0 temos A^{p} e^{-A} \rightarrow 0 quando A \rightarrow \infty (pois e^{A} domina qualquer potência de A. Tomando
o limite A \rightarrow \infty obtemos
Uma justificativa clara: considere o logaritmo do produto
\ln\big(A^{p}e^{-A}\big)=p\ln A - A.
Quando A\to\infty temos \ln A=o(A), isto é, \ln A cresce muito mais devagar que A. Portanto p\ln A - A \to -\infty, e assim o exponencial tende a zero:
A^{p}e^{-A}=\exp(p\ln A - A)\to 0.
Esse argumento funciona para qualquer real p>0. (Outra forma é escrever A^{p}/e^{A} e aplicar L’Hôpital em casos apropriados, mas a ideia do log mostra a razão de forma simples.)
Passo 6
Tendo mostrado que o termo de fronteira em A tende a zero, podemos tomar limite A\to\infty na identidade do Passo 4:
Pelo definição da integral imprópria, o limite à direita é exatamente \Gamma(p), desde que \Gamma(p) exista. Para que \Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} x^{p-1}e^{-x}\,dx exista precisamos de integrabilidade na vizinhança de 0, isto é p-1>-1 ou p>0. Portanto, para p>0 podemos concluir
\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p).
Passo 7
Interpretação e exemplo simples para fixar a ideia: para p=1 temos
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1).
Como \Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=1, obtemos \Gamma(2)=1. Pelo passo iterado, para inteiro n\ge 0 obtém-se \Gamma(n+1)=n!, uma consequência clássica da relação de recorrência que acabamos de provar.