Uma pessoa gasta em média 2500 Cal (kcal) de energia para manter seu metabolismo e realizar suas atividades ao longo de um dia. (a) Considerando-se uma pessoal com 70,0 kg , qual a potência média de energia produzida pelo organismo? Imagine, agora, que uma pessoa entrou no hospital com hipotermia (temperatura do corpo abaixo do normal), sua temperatura sendo de apenas 30,5^{\circ} \mathrm{C}. Essa pessoa é protegida com cobertores isolantes para que possa recuperar naturalmente sua temperatura até 36,5^{\circ} \mathrm{C}. (b) Supondo-se que seu organismo produza uma energia igual à do item (a) e que esta energia permaneça em seu corpo sob a forma de calor, quanto tempo levará até que ela chegue à temperatura corporal desejada se o calor específico médio do corpo for c=3000 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK} ? Resposta: (a) 121 W ; (b) 2 horas e 53 minutos.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Energia gasta por dia: \,2500\\ \text{Cal} (a unidade aqui é a Caloria alimentar, ou seja, \text{Cal}=\text{kcal}).
  • Massa da pessoa: \,70{,}0\\ \text{kg}.
  • Temperatura inicial no caso da hipotermia: \,30{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura desejada: \,36{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico médio do corpo: \,c=3000\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
Perguntas:
(a) Qual a potência média de energia produzida pelo organismo, considerando as \,2500\\ \text{Cal} por dia?
(b) Supondo que o organismo produza essa potência do item (a) e que toda essa energia fique no corpo como calor, quanto tempo leva para a pessoa subir de \,30{,}5^\circ\mathrm{C} para \,36{,}5^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Converter a energia diária de \text{Cal} para joules, porque potência em SI é em watts ( \mathrm{W}= \mathrm{J/s}).
A relação de conversão é:
1\\ \text{Cal} = 1\\ \text{kcal} = 4184\\ \mathrm{J}.
Então a energia diária em joules é
E = 2500\\ \text{Cal} \cdot 4184\\ \mathrm{J/Cal}.
Agora calculo:
E = 2500 \cdot 4184 = 10\,460\,000\\ \mathrm{J}.
Explicação rápida: transformar em joules é necessário para usar a definição de potência em unidades compatíveis, porque potência é energia por tempo em segundos.

Passo 3

Calcular a potência média usando a definição de potência:
P = \frac{E}{\Delta t},
onde \,E é a energia total e \,\Delta t é o tempo durante o qual essa energia é liberada.
Aqui \Delta t é um dia:
\Delta t = 24\\ \text{h} = 24 \cdot 3600\\ \mathrm{s} = 86400\\ \mathrm{s}.
Substituindo:
P = \frac{10\,460\,000\\ \mathrm{J}}{86400\\ \mathrm{s}}.
Faço a divisão:
P \approx 121{,}1\\ \mathrm{W}.
Interpretação: isso significa que, em média, o corpo libera energia a uma taxa de cerca de \,121\\ \mathrm{J} por segundo — ou seja, \,121\\ \mathrm{W}. (Arredondo para três algarismos significativos: \,121\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Agora vou calcular quanto de energia em forma de calor é necessário para elevar a temperatura do corpo de \,30{,}5^\circ\mathrm{C} para \,36{,}5^\circ\mathrm{C}.
Usamos a fórmula do calor sensível:
Q = m c \Delta T,
onde:
  • Q é o calor necessário (em joules),
  • m é a massa ( \mathrm{kg}),
  • c é o calor específico ( \mathrm{J/(kg\;K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin, que numericamente aqui é igual à variação em graus Celsius).
Explico o conceito: o calor específico c diz quantos joules são necessários para elevar 1 kg do corpo em 1 K. Multiplicando por m e por \Delta T obtemos a energia total necessária.

Passo 5

Calculo da variação de temperatura:
\Delta T = 36{,}5^\circ\mathrm{C} - 30{,}5^\circ\mathrm{C} = 6{,}0\\ \mathrm{K}.
Agora aplico a fórmula:
Q = 70{,}0\\ \mathrm{kg} \cdot 3000\\ \mathrm{J/(kg\;K)} \cdot 6{,}0\\ \mathrm{K}.
Faço a multiplicação:
Q = 70{,}0 \cdot 3000 \cdot 6{,}0 = 1\,260\,000\\ \mathrm{J}.
Comentário: esse é o total de energia térmica que precisa ser adicionada ao corpo para subir a temperatura em \,6{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Agora calculo o tempo necessário, assumindo que toda a potência do organismo (do Passo 3) entra no corpo como calor e é retida (situação idealizada).
Tempo em segundos:
t = \frac{Q}{P}.
Substituo Q=1\,260\,000\\ \mathrm{J} e P\approx121{,}1\\ \mathrm{W}:
t \approx \frac{1\,260\,000}{121{,}1}\\ \mathrm{s} \approx 10\,410\\ \mathrm{s}.
Converter para horas e minutos:
\text{horas} = \frac{10\,410}{3600} \approx 2{,}89\\ \text{h}.
A parte inteira é 2\\ \text{h}. O restante em minutos:
0{,}89\\ \text{h} \times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}} \approx 53{,}4\\ \text{min},
ou seja aproximadamente 53\\ \text{min} e alguns segundos (cerca de 30\\ \text{s}). Arredondando para minutos, dá 2\\ \text{h}\\\ 53\\ \text{min}.
Interpretação prática: com a potência média de uma pessoa bem alimentada, levando em conta o calor específico dado e assumindo isolamento perfeito, levaria cerca de 2 horas e 53 minutos para recuperar a temperatura desejada.

Resposta

(a) 121\\ \mathrm{W}
(b) 2\\ \mathrm{h}\\\ 53\\ \mathrm{min}

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