Um mol de um gás ideal é expandido de 10 L e 0^{\circ} \mathrm{C} para 20 L e 100^{\circ} \mathrm{C}. Tomando C_{V m}=20 \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{mol}^{-1}, calcular \Delta \mathrm{U}, W e Q para cada um dos seguintes passos alternativos em que esta expansão se pode efetuar:
(b) Aquecimento de 10 L a volume constante até 100^{\circ} \mathrm{C}, seguido de uma expansão isotérmica reversível a 100^{\circ} \mathrm{C}, até 20 L .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para o processo (b).
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Número de mols: n=1.
    • Volume inicial: V_1=10\\ \mathrm{L}.
    • Volume final: V_2=20\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: T_1=0^\circ\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura final: T_2=100^\circ\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K}.
    • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_{V,m}=20\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
    • Constante dos gases ideais (vou usar): R=8{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • O processo (b) é composto de dois passos:
    1. Aquecimento a volume constante de T_1 para T_2 mantendo V=10\\ \mathrm{L}.
    2. Expansão isotérmica reversível a T_2=373,15\\ \mathrm{K} de V=10\\ \mathrm{L} para V=20\\ \mathrm{L}.
  • O que o enunciado pede: calcular \Delta U, W e Q para todo esse caminho (isto é, somando os dois passos).

Passo 2

Entendendo a energia interna para gás ideal e calculando o passo 1 (isochórico, V= constante).
  • Conceito importante (mini-aula): para um gás ideal mono- ou poliatómico em que a energia interna depende apenas da temperatura, a variação de energia interna em um processo que muda a temperatura é dada por
\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T,
onde:
  • n é o número de mols,
  • C_{V,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}),
  • \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} é a variação de temperatura em kelvin.
    Esse resultado vem do fato de que, para gás ideal, U=U(T) e a derivada \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = n C_{V,m}.
  • Aplicando ao passo 1 (aquecimento a V= constante):
    • \Delta T = T_2-T_1 = 373{,}15-273{,}15 = 100\\ \mathrm{K}.
    • Portanto
    \Delta U_1 = n\,C_{V,m}\,\Delta T = 1\cdot 20\cdot 100 = 2000\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho no processo isocórico:
    • Em volume constante não há deslocamento de fronteira, logo o trabalho de pressão-volume é zero:
    W_1 = 0\\ \mathrm{J}.
  • Primeira lei da termodinâmica (forma útil):
    Q = \Delta U + W,
    onde Q é o calor absorvido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema (convenção: W>0 quando o sistema realiza trabalho sobre o meio).
    • Logo o calor fornecido no passo 1 é
    Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = 2000 + 0 = 2000\\ \mathrm{J}.
Resumo do passo 1:
\Delta U_1 = 2000\\ \mathrm{J},\qquad W_1 = 0\\ \mathrm{J},\qquad Q_1 = 2000\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Entendendo a expansão isotérmica reversível e calculando o passo 2 (isotérmico a T_2).
  • Conceito importante (mini-aula): para um gás ideal, em processo isotérmico (temperatura constante) a energia interna não muda, porque U depende só de T. Assim,
\Delta U_{\text{isotérmico}} = 0.é
Pela primeira lei, o calor trocado é igual ao trabalho realizado:
Q_{\text{isotérmico}} = \Delta U + W = W.é
  • Trabalho reversível em uma expansão isotérmica de um gás ideal:
W_{\text{rev}} = n R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),
onde:
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta constante do processo,
  • V_i e V_f são volumes inicial e final.
  • Aplicando ao passo 2:
    • Aqui T=373{,}15\\ \mathrm{K}, V_i=10\\ \mathrm{L}, V_f=20\\ \mathrm{L} então V_f/V_i=2.
    • Calcule primeiro nRT:
    nRT = 1\cdot 8{,}314\cdot 373{,}15 \approx 3102{,}37\\ \mathrm{J}.
    • Agora multiplica por \ln 2 (lembre que \ln 2\approx 0{,}693147):
    W_2 = nRT\ln\!\left(2\right) \approx 3102{,}37\times 0{,}693147 \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J}.
    (arredondei a 4 algarismos significativos onde adequado).
  • Como \Delta U_2=0, o calor no passo 2 é
Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = 0 + 2150{,}0 \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J}.
Resumo do passo 2:
\Delta U_2 = 0\\ \mathrm{J},\qquad W_2 \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J},\qquad Q_2 \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Somando os dois passos para obter \Delta U, W e Q do caminho completo (b) e checando a consistência com a primeira lei.
  • Soma das variações de energia interna:
\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 2000 + 0 = 2000\\ \mathrm{J}.
  • Soma dos trabalhos:
W = W_1 + W_2 = 0 + 2150{,}0 \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Soma dos calores:
Q = Q_1 + Q_2 = 2000 + 2150{,}0 \approx 4150{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Verificação da primeira lei para o processo completo:
Q \stackrel{?}{=} \Delta U + W \quad\Rightarrow\quad 4150{,}0 \stackrel{?}{=} 2000 + 2150{,}0,
o que é verdade dentro do arredondamento, portanto os números são consistentes.

Resposta

\Delta U = 2000\\ \mathrm{J}
W \approx 2150{,}0\\ \mathrm{J}
Q \approx 4150{,}0\\ \mathrm{J}

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