Um mol de um gás ideal é expandido de 10 L e
para 20 L e
. Tomando
, calcular
, W e Q para cada um dos seguintes passos alternativos em que esta expansão se pode efetuar:
(a) Expansão isotérmica reversível a
de 10 L para 20 L , seguida de um aquecimento a volume constante até
(a) Expansão isotérmica reversível a
Passo 1
O enunciado dá um mol de gás ideal que vai de
e
para
e
. Foi informado o calor molar a volume constante
. A pergunta pede para calcular
,
e
quando o processo é realizado por: (a) expansão isotérmica reversível a
de
para
, seguida de aquecimento a volume constante até
.
Dados extraídos do enunciado:
-
. -
, . -
. -
. -
. - Constante dos gases:
(valor usado).
O que precisamos calcular:
- A variação da energia interna total
do processo completo. - O trabalho total
realizado pelo gás ao longo dos dois passos. - O calor total
fornecido ao gás ao longo dos dois passos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Energia interna de um gás ideal: para um gás ideal (modelo comum em provas), a energia interna depende apenas da temperatura. Para
mols,
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante (aqui
). Explicando as variáveis:
-
é a variação da energia interna (J). -
é o número de mols. -
é a capacidade térmica molar a volume constante, em . -
é a variação de temperatura em kelvin (K). Lembre-se: aumento de corresponde a aumento de .
- Trabalho em um processo reversível: o trabalho realizado pelo gás ao se expandir reversivelmente é
Se o processo for isotérmico e para gás ideal temos
, então
Explicando: aqui
é a temperatura constante durante a expansão isotérmica,
a constante dos gases, e
é o logaritmo natural.
-
No aquecimento a volume constante:
porque . -
Primeira Lei da Termodinâmica para o processo total:
onde
é o calor total trocado com o gás (positivo se recebido pelo gás).
Passo 3
Calcular
do processo completo usando
.
A variação de temperatura é
Como
e
,
Observação (didática): para gás ideal
não depende do caminho, só de
. Então esta é a variação de energia interna tanto para o passo isotérmico quanto para o aquecimento; porém na expansão isotérmica a energia interna não muda (
) e toda a variação aparece no segundo passo.
Passo 4
Calcular o trabalho do primeiro passo: expansão isotérmica reversível a
de
para
.
Usamos
Aqui
, então
.
Calcule
:
Agora
Interpretação: durante a expansão isotérmica o gás realiza trabalho
e, como
, o calor trocado nesse passo é
(calor entra para compensar o trabalho).
Passo 5
Calcular as quantidades do segundo passo: aquecimento a volume constante de
para
(mesma variação
) com
fixo.
- Trabalho no passo 2:
porque
.
- Variação de energia interna no passo 2:
- Calor no passo 2 (pela primeira lei, ou diretamente
):
Passo 6
Somar contribuições dos dois passos para obter os valores totais do processo (a):
- Trabalho total:
- Variação total da energia interna (verificamos antes):
- Calor total usando
ou :
Passo 7
Resumo físico e checagem rápida (didática): na expansão isotérmica inicial todo o trabalho
é fornecido como calor ao gás nesse passo; a energia interna não muda. No aquecimento a volume constante, não há trabalho e toda a energia fornecida aumenta a energia interna em
. Somando, a energia interna subiu
, o gás realizou
de trabalho, e o calor total recebido foi
. Força — tá indo bem!