Um mol de um gás ideal é expandido de 10 L e 0^{\circ} \mathrm{C} para 20 L e 100^{\circ} \mathrm{C}. Tomando C_{V m}=20 \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{mol}^{-1}, calcular \Delta \mathrm{U}, W e Q para cada um dos seguintes passos alternativos em que esta expansão se pode efetuar:
(a) Expansão isotérmica reversível a 0^{\circ} \mathrm{C} de 10 L para 20 L , seguida de um aquecimento a volume constante até 100^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás ideal que vai de V_i=10\\ \mathrm{L} e T_i=0^\circ\mathrm{C} para V_f=20\\ \mathrm{L} e T_f=100^\circ\mathrm{C}. Foi informado o calor molar a volume constante \,C_{V,m}=20\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\,. A pergunta pede para calcular \Delta U, W e Q quando o processo é realizado por: (a) expansão isotérmica reversível a 0^\circ\mathrm{C} de 10\\ \mathrm{L} para 20\\ \mathrm{L}, seguida de aquecimento a volume constante até 100^\circ\mathrm{C}.
Dados extraídos do enunciado:
  • n=1\\ \mathrm{mol}.
  • V_i=10\\ \mathrm{L}, V_f=20\\ \mathrm{L}.
  • T_i=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_f=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • C_{V,m}=20\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (valor usado).
O que precisamos calcular:
  • A variação da energia interna total \Delta U do processo completo.
  • O trabalho total W realizado pelo gás ao longo dos dois passos.
  • O calor total Q fornecido ao gás ao longo dos dois passos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  1. Energia interna de um gás ideal: para um gás ideal (modelo comum em provas), a energia interna depende apenas da temperatura. Para n mols,
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante (aqui C_V=C_{V,m}). Explicando as variáveis:
  • \Delta U é a variação da energia interna (J).
  • n é o número de mols.
  • C_V é a capacidade térmica molar a volume constante, em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • \Delta T=T_f-T_i é a variação de temperatura em kelvin (K). Lembre-se: aumento de 1^\circ\mathrm{C} corresponde a aumento de 1\\ \mathrm{K}.
  1. Trabalho em um processo reversível: o trabalho realizado pelo gás ao se expandir reversivelmente é
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV.
Se o processo for isotérmico e para gás ideal temos p=\dfrac{nRT}{V}, então
W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Explicando: aqui T é a temperatura constante durante a expansão isotérmica, R a constante dos gases, e \ln é o logaritmo natural.
  1. No aquecimento a volume constante: W_{V=\text{const}}=0 porque dV=0.
  2. Primeira Lei da Termodinâmica para o processo total:
Q=\Delta U + W,
onde Q é o calor total trocado com o gás (positivo se recebido pelo gás).

Passo 3

Calcular \Delta U do processo completo usando \Delta U = n C_V \Delta T.
A variação de temperatura é
\Delta T = T_f - T_i = 373{,}15\\ \mathrm{K} - 273{,}15\\ \mathrm{K} = 100\\ \mathrm{K}.
Como n=1 e C_{V,m}=20\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},
\Delta U = 1\cdot 20\cdot 100 = 2000\\ \mathrm{J}.
Observação (didática): para gás ideal \Delta U não depende do caminho, só de \Delta T. Então esta é a variação de energia interna tanto para o passo isotérmico quanto para o aquecimento; porém na expansão isotérmica a energia interna não muda ( \Delta U_{\text{isot}}=0) e toda a variação aparece no segundo passo.

Passo 4

Calcular o trabalho do primeiro passo: expansão isotérmica reversível a T=273{,}15\\ \mathrm{K} de V_i=10\\ \mathrm{L} para V_f=20\\ \mathrm{L}.
Usamos
W_1 = n R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Aqui V_f/V_i=20/10=2, então \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)=\ln 2\approx 0{,}693147.
Calcule nRT:
nRT = 1\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\cdot 273{,}15\\ \mathrm{K} \approx 2271{,}10\\ \mathrm{J}.
Agora
W_1 \approx 2271{,}10 \times 0{,}693147 \approx 1574\\ \mathrm{J}.
Interpretação: durante a expansão isotérmica o gás realiza trabalho \approx 1574\\ \mathrm{J} e, como \Delta U_{\text{isot}}=0, o calor trocado nesse passo é Q_1=W_1 (calor entra para compensar o trabalho).

Passo 5

Calcular as quantidades do segundo passo: aquecimento a volume constante de T=0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C} (mesma variação \Delta T=100\\ \mathrm{K}) com V fixo.
  • Trabalho no passo 2:
W_2 = 0
porque dV=0.
  • Variação de energia interna no passo 2:
\Delta U_2 = n C_V \Delta T = 1\cdot 20 \cdot 100 = 2000\\ \mathrm{J}.
  • Calor no passo 2 (pela primeira lei, ou diretamente Q_{V} = n C_V \Delta T):
Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = 2000 + 0 = 2000\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Somar contribuições dos dois passos para obter os valores totais do processo (a):
  • Trabalho total:
W = W_1 + W_2 = 1574\\ \mathrm{J} + 0 = 1574\\ \mathrm{J}.
  • Variação total da energia interna (verificamos antes):
\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 0 + 2000 = 2000\\ \mathrm{J}.
  • Calor total usando Q=\Delta U + W ou Q=Q_1+Q_2:
Q = 2000 + 1574 = 3574\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Resumo físico e checagem rápida (didática): na expansão isotérmica inicial todo o trabalho \approx 1574\\ \mathrm{J} é fornecido como calor ao gás nesse passo; a energia interna não muda. No aquecimento a volume constante, não há trabalho e toda a energia fornecida aumenta a energia interna em 2000\\ \mathrm{J}. Somando, a energia interna subiu 2000\\ \mathrm{J}, o gás realizou 1574\\ \mathrm{J} de trabalho, e o calor total recebido foi 3574\\ \mathrm{J}. Força — tá indo bem!

Resposta

\Delta U = 2000\\ \mathrm{J}
W = 1574\\ \mathrm{J}
Q = 3574\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados