Dois mols de um gás ideal estão confinados em um pistão a uma temperatura constante de 300 K . Calcule o trabalho quando o gás se expande de um volume inicial de 2 L para um volume final de 6 L. (Resposta =+\mathbf{5 4 8 4 ~ J} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já vou listar tudo de forma clara):
  • quantidade de substância: n=2\\ \text{mol};
  • temperatura constante: T=300\\ \text{K};
  • volume inicial: V_i=2\\ \text{L};
  • volume final: V_f=6\\ \text{L}.
O que o problema pede: calcular o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande reversivelmente e isotermicamente de V_i para V_f à temperatura dada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa como num passo a passo de prova).
  1. Definição diferencial de trabalho em um processo quasistático (ou reversível) para um gás:
dW = p\,dV,
onde dW é o trabalho infinitesimal realizado pelo gás quando o volume varia de forma infinitesimal dV, e p é a pressão do gás naquele instante.
  1. Lei dos gases ideais: para um gás ideal relaciona-se pressão, volume e temperatura por
pV = nRT,
onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta. Aqui:
  • n é dado ( 2\\ \text{mol});
  • R vale aproximadamente 8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1};
  • T é constante ( 300\\ \text{K}).
  1. Como T é constante (processo isotérmico), podemos substituir p na expressão do trabalho por p = \dfrac{nRT}{V} e integrar entre V_i e V_f:
W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui W é o trabalho total realizado pelo gás ao passar de V_i para V_f. Observação sobre sinal: adoto a convenção em que trabalho realizado pelo gás é positivo quando o gás se expande (assim W>0 para expansão).

Passo 3

Resolver a integral explicitamente (aqui mostro cada passo):
Como n, R e T são constantes ao longo do processo isotérmico, saem da integral:
W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV.
A integral de 1/V é o logaritmo natural:
\int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV = \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Portanto a expressão fechada para o trabalho é
W = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Nota importante sobre unidades: \dfrac{V_f}{V_i} é uma razão adimensional — desde que use o mesmo sistema para V_f e V_i a razão é sem unidade. Como estamos usando R em unidades SI ( \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}), o produto nRT ficará em joules e W em joules também. Não é necessário converter litros para metros cúbicos para calcular a razão V_f/V_i, porque a razão é adimensional; se fosse preciso usar volumes absolutos em m³ (por exemplo para calcular pressão), então seria necessário converter. Aqui basta usar a razão V_f/V_i.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
nRT = 2 \times 8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} \times 300\\ \text{K}.
Calculemos:
8{,}314 \times 300 = 2\,494{,}2\\ \text{J/mol},
então
nRT = 2 \times 2\,494{,}2 = 4\,988{,}4\\ \text{J}.
Agora a razão dos volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{6\\ \text{L}}{2\\ \text{L}} = 3.
O logaritmo natural:
\ln(3) \approx 1{,}0986122887.
Multiplicando:
W = 4\,988{,}4 \times 1{,}0986122887 \approx 5\,484\\ \text{J}.
Arredondando de forma consistente obtemos W \approx 5\,484\\ \text{J}. Esse valor é positivo, o que faz sentido físico: o gás realiza trabalho sobre o ambiente ao se expandir.

Passo 5

Resumo e observações finais (coisas para lembrar na hora da prova):
  • Fórmula chave para expansão isotérmica reversível de gás ideal: \;W = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Sempre verifique a convenção de sinal do enunciado (aqui adotamos trabalho positivo quando realizado pelo gás).
  • Não é preciso converter litros para metros cúbicos para calcular a razão V_f/V_i, mas se for necessário calcular pressão ou usar volumes em expressões isoladas com R em SI, converta 1\\ \text{L} = 1\times 10^{-3}\\ \text{m}^3.

Resposta

+5484\\ \text{J}

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