Dois mols de um gás ideal estão confinados em um pistão a uma temperatura constante de 300 K . Calcule o trabalho quando o gás se expande de um volume inicial de 2 L para um volume final de 6 L. (Resposta
)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (já vou listar tudo de forma clara):
- quantidade de substância:
; - temperatura constante:
; - volume inicial:
; - volume final:
.
O que o problema pede: calcular o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande reversivelmente e isotermicamente de
para
à temperatura dada.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa como num passo a passo de prova).
- Definição diferencial de trabalho em um processo quasistático (ou reversível) para um gás:
onde
é o trabalho infinitesimal realizado pelo gás quando o volume varia de forma infinitesimal
, e
é a pressão do gás naquele instante.
- Lei dos gases ideais: para um gás ideal relaciona-se pressão, volume e temperatura por
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta. Aqui:
-
é dado ( ); -
vale aproximadamente ; -
é constante ( ).
- Como
é constante (processo isotérmico), podemos substituir na expressão do trabalho por e integrar entre e :
Aqui
é o trabalho total realizado pelo gás ao passar de
para
. Observação sobre sinal: adoto a convenção em que trabalho realizado pelo gás é positivo quando o gás se expande (assim
para expansão).
Passo 3
Resolver a integral explicitamente (aqui mostro cada passo):
Como ,
e
são constantes ao longo do processo isotérmico, saem da integral:
Como
A integral de
é o logaritmo natural:
Portanto a expressão fechada para o trabalho é
Nota importante sobre unidades:
é uma razão adimensional — desde que use o mesmo sistema para
e
a razão é sem unidade. Como estamos usando
em unidades SI (
), o produto
ficará em joules e
em joules também. Não é necessário converter litros para metros cúbicos para calcular a razão
, porque a razão é adimensional; se fosse preciso usar volumes absolutos em m³ (por exemplo para calcular pressão), então seria necessário converter. Aqui basta usar a razão
.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
Calculemos:
então
Agora a razão dos volumes:
O logaritmo natural:
Multiplicando:
Arredondando de forma consistente obtemos
. Esse valor é positivo, o que faz sentido físico: o gás realiza trabalho sobre o ambiente ao se expandir.
Passo 5
Resumo e observações finais (coisas para lembrar na hora da prova):
- Fórmula chave para expansão isotérmica reversível de gás ideal:
. - Sempre verifique a convenção de sinal do enunciado (aqui adotamos trabalho positivo quando realizado pelo gás).
- Não é preciso converter litros para metros cúbicos para calcular a razão
, mas se for necessário calcular pressão ou usar volumes em expressões isoladas com em SI, converta .