Considere um gás que descreve um ciclo fechado em um diagrama de pressão por volume. O ciclo é composto por uma expansão isobárica de (
) até (
Pa ), seguida por um resfriamento isocórico (volume constante) até a pressão de 40 Pa , e retornando ao estado inicial por uma compressão linear (reta no gráfico). Determine o trabalho total quando o gás completa um ciclo.
Resposta
J)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Estados e coordenadas (peguei esses valores do enunciado):
- Estado inicial
: volume , pressão . - Após expansão isobárica: estado
: , . - Após resfriamento isocórico: estado
: , . - Retorno de
para por uma compressão que segue uma reta no diagrama - .
- Estado inicial
- O enunciado pede: determinar o trabalho total realizado quando o gás completa o ciclo (ou seja, somar o trabalho em cada trecho do ciclo).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e direta).
- Trabalho por um processo quasistático num gás ideal é dado por
onde
é a pressão ao longo do processo como função do volume,
e
são volumes inicial e final do trecho considerado.
- Interpretação geométrica: esse integral é a área sob a curva
versus entre e . - Convenção de sinais usada aqui: se o gás se expande (
), (o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Se o gás é comprimido ( ), .
Passo 3
Trabalho no trecho isobárico
(expansão a
).
- Para processo isobárico a pressão é constante, então
e
- Calculemos
:
- Portanto
- Interpretação: trabalho positivo porque o volume aumentou (expansão).
Passo 4
Trabalho no trecho isocórico
(resfriamento a volume fixo
).
- Em processo isocórico o volume não muda, então
e
- Portanto não há trabalho nesse trecho:
Passo 5
Trabalho no trecho de compressão linear
(reta no gráfico entre
e
).
Método geométrico (mais simples): área do trapézio sob a reta entre e
.
Método geométrico (mais simples): área do trapézio sob a reta entre
- A área sob a curva entre
e (valendo como ) é a área do trapézio com bases e e altura (base do trapézio) . Então
- Atenção ao sentido do processo: o trecho real é
, ou seja, de para (compressão). O integral de com limites de a é o negativo da área positiva calculada entre e . Assim o trabalho feito pelo gás no trecho é negativo:
(Se preferir confirmar por integração direta, pode-se achar a equação da reta
e integrar de
a
, obtendo
.)
Passo 6
Soma dos trabalhos para obter o trabalho total no ciclo.
- Somamos os três trechos:
- Substituindo os valores:
- Interpretação:
indica que, ao completar o ciclo, o gás realizou trabalho líquido sobre o ambiente no valor de .