Considere um gás que descreve um ciclo fechado em um diagrama de pressão por volume. O ciclo é composto por uma expansão isobárica de ( 2 \mathrm{~m}^{3}, 100 \mathrm{~Pa} ) até ( 5 \mathrm{~m}^{3}, 100 Pa ), seguida por um resfriamento isocórico (volume constante) até a pressão de 40 Pa , e retornando ao estado inicial por uma compressão linear (reta no gráfico). Determine o trabalho total quando o gás completa um ciclo. ( Resposta =+\mathbf{9 0} J)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Estados e coordenadas (peguei esses valores do enunciado):
    • Estado inicial A: volume V_A = 2\\ \mathrm{m}^3, pressão P_A = 100\\ \mathrm{Pa}.
    • Após expansão isobárica: estado B: V_B = 5\\ \mathrm{m}^3, P_B = 100\\ \mathrm{Pa}.
    • Após resfriamento isocórico: estado C: V_C = 5\\ \mathrm{m}^3, P_C = 40\\ \mathrm{Pa}.
    • Retorno de C para A por uma compressão que segue uma reta no diagrama P- V.
  • O enunciado pede: determinar o trabalho total realizado quando o gás completa o ciclo (ou seja, somar o trabalho em cada trecho do ciclo).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e direta).
  • Trabalho por um processo quasistático num gás ideal é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P(V)\,dV,
onde P(V) é a pressão ao longo do processo como função do volume, V_i e V_f são volumes inicial e final do trecho considerado.
  • Interpretação geométrica: esse integral é a área sob a curva P versus V entre V_i e V_f.
  • Convenção de sinais usada aqui: se o gás se expande ( \Delta V>0), W>0 (o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Se o gás é comprimido ( \Delta V<0), W<0.

Passo 3

Trabalho no trecho isobárico A\to B (expansão a P=100\\ \mathrm{Pa}).
  • Para processo isobárico a pressão é constante, então P(V)=100\\ \mathrm{Pa} e
W_{A\to B}=P\,(V_B-V_A).
  • Calculemos \Delta V:
V_B-V_A = 5-2 = 3\\ \mathrm{m}^3.
  • Portanto
W_{A\to B} = 100\cdot 3 = 300\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: trabalho positivo porque o volume aumentou (expansão).

Passo 4

Trabalho no trecho isocórico B\to C (resfriamento a volume fixo V=5\\ \mathrm{m}^3).
  • Em processo isocórico o volume não muda, então dV=0 e
W_{B\to C}=\int_{V_B}^{V_C} P\,dV = 0.
  • Portanto não há trabalho nesse trecho:
W_{B\to C}=0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Trabalho no trecho de compressão linear C\to A (reta no gráfico entre (5\\ \mathrm{m}^3,40\\ \mathrm{Pa}) e (2\\ \mathrm{m}^3,100\\ \mathrm{Pa})).
Método geométrico (mais simples): área do trapézio sob a reta entre V=2 e V=5.
  • A área sob a curva entre V=2 e V=5 (valendo como \int_{2}^{5}P\,dV) é a área do trapézio com bases P(V=2)=100\\ \mathrm{Pa} e P(V=5)=40\\ \mathrm{Pa} e altura (base do trapézio) \Delta V=3\\ \mathrm{m}^3. Então
\text{Área}=\frac{P(V=2)+P(V=5)}{2}\,(V_B-V_A)=\frac{100+40}{2}\cdot 3 = 210\\ \mathrm{J}.Á
  • Atenção ao sentido do processo: o trecho real é C\to A, ou seja, de V=5 para V=2 (compressão). O integral de P\,dV com limites de 5 a 2 é o negativo da área positiva calculada entre 2 e 5. Assim o trabalho feito pelo gás no trecho C\to A é negativo:
W_{C\to A} = -210\\ \mathrm{J}.
(Se preferir confirmar por integração direta, pode-se achar a equação da reta P(V)=-20V+140 e integrar de V=5 a V=2, obtendo -210\\ \mathrm{J}.)

Passo 6

Soma dos trabalhos para obter o trabalho total no ciclo.
  • Somamos os três trechos:
W_{\text{total}} = W_{A\to B} + W_{B\to C} + W_{C\to A}.
  • Substituindo os valores:
W_{\text{total}} = 300 + 0 + (-210) = 90\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: W_{\text{total}}>0 indica que, ao completar o ciclo, o gás realizou trabalho líquido sobre o ambiente no valor de 90\\ \mathrm{J}.

Resposta

+90\\ \mathrm{J}

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