Frank D. Drake, um investigador do programa SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence, ou seja, Busca de Inteligência Extraterrestre), disse uma vez que o grande radiotelescópio de Arecibo, Porto Rico, “é capaz de detectar um sinal que deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um picowatt”. (a) Qual é a potência que a antena do radiotelescópio de Arecibo receberia de um sinal como esse? O diâmetro da antena é 300 m . (b) Qual teria que ser a potência de uma fonte isotrópica situada no centro de nossa galáxia para que um sinal com essa potência chegasse à Terra? O centro da galáxia fica a
anos-luz de distância. Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
- (a) Determinar a potência que a antena do radiotelescópio de Arecibo recebe quando um sinal “deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um picowatt”. O diâmetro da antena é
. - (b) Determinar a potência que teria que emitir uma fonte isotrópica situada no centro da galáxia (distância até a Terra
) para que, ao chegar à Terra, o total depositado na superfície da Terra seja .
Constantes e escolhas numéricas que serão usadas (valores típicos):
- Raio da Terra:
. - Um ano‑luz:
.
Passo 2
Entendendo o que significa “deposita na superfície da Terra uma potência
”: isso quer dizer que o total de potência entregue a toda a superfície terrestre é
. A intensidade (fluxo de potência por área) na superfície da Terra é
onde
é a área da superfície da Terra. A área da superfície de uma esfera é
Calculemos
:
Agora a intensidade na superfície:
A antena de Arecibo tem área geométrica (assumimos área coletora aproximada igual à área física do disco):
A potência recebida pela antena é a intensidade vezes a sua área:
(Interpretando: mesmo que o sinal deposite no total só
na Terra inteira, a grande área do prato de Arecibo faz com que ele receba da ordem de
.)
Passo 3
Para (b) precisamos da potência total
de uma fonte isotrópica no centro da galáxia que faz com que a Terra receba (intercepte) exatamente
.
Uma fonte isotrópica emite potência igualmente em todas as direções; à distância
a potência espalha-se sobre a superfície de uma esfera de área
. A fração dessa potência interceptada pela Terra é a razão entre a área de seção reta da Terra (área do disco que “bloqueia” a onda) e a área da esfera centrada na fonte:
Portanto a potência interceptada por toda a Terra é
Isolando
:
Agora convertamos a distância
para metros:
Calculemos a razão
:
Finalmente,
Passo 4
Interpretação rápida (motivacional):
é absurdamente pequeno em termos humanos (
), mas detectável com técnicas de rádio muito sensíveis; já a potência exigida de uma fonte no centro galáctico para iluminar a Terra com só
é enorme, da ordem de
(várias ordens de magnitude acima de qualquer transmissor humano típico). Vai dar certo — devagarinho: entender cada passo e a geometria de áreas é a chave em problemas assim.
Resposta
(a)
(b)