Frank D. Drake, um investigador do programa SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence, ou seja, Busca de Inteligência Extraterrestre), disse uma vez que o grande radiotelescópio de Arecibo, Porto Rico, “é capaz de detectar um sinal que deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um picowatt”. (a) Qual é a potência que a antena do radiotelescópio de Arecibo receberia de um sinal como esse? O diâmetro da antena é 300 m . (b) Qual teria que ser a potência de uma fonte isotrópica situada no centro de nossa galáxia para que um sinal com essa potência chegasse à Terra? O centro da galáxia fica a 2,2 \times 10^{4} anos-luz de distância. Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
  • (a) Determinar a potência que a antena do radiotelescópio de Arecibo recebe quando um sinal “deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um picowatt”. O diâmetro da antena é \,D=300\\ \text{m}.
  • (b) Determinar a potência que teria que emitir uma fonte isotrópica situada no centro da galáxia (distância até a Terra \,d=2{,}2\times10^{4}\\ \text{anos‑luz}) para que, ao chegar à Terra, o total depositado na superfície da Terra seja \,1\\ \text{pW}=1\times10^{-12}\\ \text{W}.
Constantes e escolhas numéricas que serão usadas (valores típicos):
  • Raio da Terra: \,R_{\oplus}=6{,}37\times10^{6}\\ \text{m}.
  • Um ano‑luz: \,1\\ \text{ly}=9{,}46\times10^{15}\\ \text{m}.

Passo 2

Entendendo o que significa “deposita na superfície da Terra uma potência \,P_{\text{terra}}=1\times10^{-12}\\ \text{W}”: isso quer dizer que o total de potência entregue a toda a superfície terrestre é \,P_{\text{terra}}. A intensidade (fluxo de potência por área) na superfície da Terra é
I=\frac{P_{\text{terra}}}{A_{\oplus}},
onde \,A_{\oplus} é a área da superfície da Terra. A área da superfície de uma esfera é
A_{\oplus}=4\pi R_{\oplus}^{2}.
Calculemos \,A_{\oplus}:
R_{\oplus}=6{,}37\times10^{6}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad A_{\oplus}=4\pi(6{,}37\times10^{6})^{2}\approx5{,}101075\times10^{14}\\ \text{m}^{2}.
Agora a intensidade na superfície:
I=\frac{1\times10^{-12}}{5{,}101075\times10^{14}}\\ \text{W/m}^{2}\approx1{,}960\times10^{-27}\\ \text{W/m}^{2}.
A antena de Arecibo tem área geométrica (assumimos área coletora aproximada igual à área física do disco):
A_{\text{ant}}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\pi(150)^{2}=\pi\cdot22500\approx7{,}0686\times10^{4}\\ \text{m}^{2}.
A potência recebida pela antena é a intensidade vezes a sua área:
P_{\text{ant}}=I\,A_{\text{ant}}\approx(1{,}960\times10^{-27})(7{,}0686\times10^{4})\\ \text{W}\approx1{,}39\times10^{-22}\\ \text{W}.
(Interpretando: mesmo que o sinal deposite no total só 1\\ \text{pW} na Terra inteira, a grande área do prato de Arecibo faz com que ele receba da ordem de 10^{-22}\\ \text{W}.)

Passo 3

Para (b) precisamos da potência total P_{\text{fonte}} de uma fonte isotrópica no centro da galáxia que faz com que a Terra receba (intercepte) exatamente P_{\text{terra}}=1\times10^{-12}\\ \text{W}.
Uma fonte isotrópica emite potência igualmente em todas as direções; à distância \,d a potência espalha-se sobre a superfície de uma esfera de área \,4\pi d^{2}. A fração dessa potência interceptada pela Terra é a razão entre a área de seção reta da Terra (área do disco que “bloqueia” a onda) e a área da esfera centrada na fonte:
\text{fração}=\frac{\text{área de intercepção}}{4\pi d^{2}}=\frac{\pi R_{\oplus}^{2}}{4\pi d^{2}}=\frac{R_{\oplus}^{2}}{4d^{2}}.çãáçã
Portanto a potência interceptada por toda a Terra é
P_{\text{terra}}=P_{\text{fonte}}\cdot\frac{R_{\oplus}^{2}}{4d^{2}}.
Isolando P_{\text{fonte}}:
P_{\text{fonte}}=P_{\text{terra}}\cdot\frac{4d^{2}}{R_{\oplus}^{2}}.
Agora convertamos a distância \,d para metros:
d=2{,}2\times10^{4}\\ \text{ly}=2{,}2\times10^{4}\times9{,}46\times10^{15}\\ \text{m}\approx2{,}0812\times10^{20}\\ \text{m}.
Calculemos a razão \dfrac{4d^{2}}{R_{\oplus}^{2}}:
d^{2}\approx(2{,}0812\times10^{20})^{2}\approx4{,}3329\times10^{40}, \qquad R_{\oplus}^{2}\approx(6{,}37\times10^{6})^{2}\approx4{,}0577\times10^{13},
\frac{4d^{2}}{R_{\oplus}^{2}}\approx 4\cdot\frac{4{,}3329\times10^{40}}{4{,}0577\times10^{13}} \approx4{,}2698\times10^{27}.
Finalmente,
P_{\text{fonte}}=1\times10^{-12}\times4{,}2698\times10^{27}\\ \text{W}\approx4{,}27\times10^{15}\\ \text{W}.

Passo 4

Interpretação rápida (motivacional): \,P_{\text{ant}} é absurdamente pequeno em termos humanos ( 10^{-22}\\ \text{W}), mas detectável com técnicas de rádio muito sensíveis; já a potência exigida de uma fonte no centro galáctico para iluminar a Terra com só 1\\ \text{pW} é enorme, da ordem de 10^{15}\\ \text{W} (várias ordens de magnitude acima de qualquer transmissor humano típico). Vai dar certo — devagarinho: entender cada passo e a geometria de áreas é a chave em problemas assim.

Resposta

(a) 1,39\times10^{-22}\\ \text{W}
(b) 4,27\times10^{15}\\ \text{W}

Exercícios relacionados