Dois nanofios de cobre estão isolados por uma camada de óxido de cobre que equivale a uma barreira de potencial de 10,0 \mathrm{eV}. Estime a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons com energia de 7,00 \mathrm{eV}, considerando que a espessura do óxido de cobre seja de 2,64 nanômetros.

Passo 1

O problema pede que eu estime a probabilidade de tunelamento entre dois nanofios isolados por uma camada de óxido de cobre que age como uma barreira de potencial. Os dados fornecidos são:
\displaystyle Altura da barreira: \displaystyle U_0 = 10{,}0\\ \mathrm{eV}
\displaystyle Energia dos elétrons: \displaystyle E = 7{,}00\\ \mathrm{eV}
\displaystyle Espessura da barreira: \displaystyle a = 2{,}64\\ \mathrm{nm}
Constantes físicas que vou usar (valores numéricos padrão):
\displaystyle massa do elétron: \displaystyle m = 9{,}109\,383\,56\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}
\displaystyle constante de Planck reduzida: \displaystyle \hbar = 1{,}054\,571\,817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}
\displaystyle 1 elétron-volt: \displaystyle 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\,176\,634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
Observação: \displaystyle A diferença entre a altura da barreira e a energia do elétron é \displaystyle U_0 - E = 3{,}00\\ \mathrm{eV}.

Passo 2

Explicação didática do modelo e fórmula que vou usar.
Quando um elétron com energia menor que a altura da barreira tenta atravessá-la, a mecânica quântica permite uma probabilidade finita de tunelamento. Para uma barreira retangular de largura \displaystyle a e altura \displaystyle U_0, para \displaystyle E<U_0 a amplitude decai exponencialmente dentro da barreira com taxa determinada por \displaystyle \kappa, definida por
\kappa = \sqrt{\frac{2m(U_0 - E)}{\hbar^2}}.
Aqui:
  • \displaystyle m é a massa do elétron;
  • \displaystyle U_0 - E é a energia (em joules) pela qual o elétron fica abaixo do topo da barreira;
  • \displaystyle \hbar é a constante de Planck reduzida.
Uma boa aproximação (WKB ou limite de barreira espessa) para a probabilidade de transmissão (tunelamento) é
T \approx \exp\big(-2\kappa a\big).
Isso significa que a probabilidade cai exponencialmente com a largura da barreira e com a raiz quadrada da diferença de energia. A expressão é uma aproximação útil em problemas de prova porque evita manipulações longas da solução exata da equação de Schrödinger e fornece a ordem de grandeza correta.

Passo 3

Converter unidades para o SI e calcular \displaystyle U_0 - E em joules, e \displaystyle a em metros.
U_0 - E = 3{,}00\\ \mathrm{eV} = 3{,}00\times 1{,}602\,176\,634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
U_0 - E = 4{,}806\,529\,902\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
a = 2{,}64\\ \mathrm{nm} = 2{,}64\times10^{-9}\\ \mathrm{m}

Passo 4

Calcular \displaystyle \kappa passo a passo usando a fórmula
\kappa = \sqrt{\frac{2m(U_0 - E)}{\hbar^2}}.
Primeiro calcule o numerador dentro da raiz:
2m(U_0-E) = 2 \times 9{,}109\,383\,56\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} \times 4{,}806\,529\,902\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
2m(U_0-E) \approx 8{,}756\,7\times10^{-49}\\ \mathrm{kg\cdot J}
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{2m(U_0-E)} \approx 9{,}363\times10^{-25}\\ \mathrm{kg^{1/2}\cdot J^{1/2}}
Dividindo por \displaystyle \hbar:
\kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar} \approx \frac{9{,}363\times10^{-25}}{1{,}054\,571\,817\times10^{-34}}\\ \mathrm{m^{-1}}
\kappa \approx 8{,}88\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}
Observação prática: \displaystyle \kappa \approx 8{,}88\\ \mathrm{nm^{-1}} porque 1\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}} = 1\\ \mathrm{nm^{-1}}.

Passo 5

Calcular o argumento exponencial \displaystyle 2\kappa a e a probabilidade T.
2\kappa a = 2 \times 8{,}88\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}} \times 2{,}64\times10^{-9}\\ \mathrm{m}
2\kappa a = 2 \times 8{,}88 \times 2{,}64 \approx 46{,}886
Agora a probabilidade pelo aproximante exponencial:
T \approx \exp\big(-2\kappa a\big) = \exp(-46{,}886)
Converter isso para potência de 10: -46{,}886/\ln(10)\approx -20{,}365, então
T \approx 4{,}3\times10^{-21}

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento (didática final): o resultado mostra que a probabilidade de tunelamento é extremamente pequena — da ordem de 10^{-21} — para elétrons com 7{,}00\\ \mathrm{eV} atravessando uma barreira de 3{,}00\\ \mathrm{eV} efetiva e largura 2{,}64\\ \mathrm{nm}. Em provas, use esta sequência: converter energias para joules, calcular \kappa com a fórmula dada, calcular 2\kappa a e aplicar T\approx e^{-2\kappa a}. Boa — você já domina a técnica essencial para estimar tunelamento em barreiras retangulares!

Resposta

4{,}3\times10^{-21}

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