Dois nanofios de cobre estão isolados por uma camada de óxido de cobre que equivale a uma barreira de potencial de
. Estime a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons com energia de
, considerando que a espessura do óxido de cobre seja de 2,64 nanômetros.
Passo 1
O problema pede que eu estime a probabilidade de tunelamento entre dois nanofios isolados por uma camada de óxido de cobre que age como uma barreira de potencial. Os dados fornecidos são:
Constantes físicas que vou usar (valores numéricos padrão):
massa do elétron:
constante de Planck reduzida:
1 elétron-volt:
Observação:
A diferença entre a altura da barreira e a energia do elétron é
.
Passo 2
Explicação didática do modelo e fórmula que vou usar.
Quando um elétron com energia menor que a altura da barreira tenta atravessá-la, a mecânica quântica permite uma probabilidade finita de tunelamento. Para uma barreira retangular de largura
e altura
, para
a amplitude decai exponencialmente dentro da barreira com taxa determinada por
, definida por
Aqui:
-
é a massa do elétron; -
é a energia (em joules) pela qual o elétron fica abaixo do topo da barreira; -
é a constante de Planck reduzida.
Uma boa aproximação (WKB ou limite de barreira espessa) para a probabilidade de transmissão (tunelamento) é
Isso significa que a probabilidade cai exponencialmente com a largura da barreira e com a raiz quadrada da diferença de energia. A expressão é uma aproximação útil em problemas de prova porque evita manipulações longas da solução exata da equação de Schrödinger e fornece a ordem de grandeza correta.
Passo 3
Converter unidades para o SI e calcular
em joules, e
em metros.
Passo 4
Calcular
passo a passo usando a fórmula
Primeiro calcule o numerador dentro da raiz:
Agora a raiz quadrada:
Dividindo por
:
Observação prática:
porque
.
Passo 5
Calcular o argumento exponencial
e a probabilidade
.
Agora a probabilidade pelo aproximante exponencial:
Converter isso para potência de 10:
, então
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento (didática final): o resultado mostra que a probabilidade de tunelamento é extremamente pequena — da ordem de
— para elétrons com
atravessando uma barreira de
efetiva e largura
. Em provas, use esta sequência: converter energias para joules, calcular
com a fórmula dada, calcular
e aplicar
. Boa — você já domina a técnica essencial para estimar tunelamento em barreiras retangulares!