Vou usar essas fórmulas passo a passo para transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois voltar para y(t).
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, usamos as fórmulas das derivadas e a transformada de u_{2}(t):
A estratégia é inverter cada parcela separadamente. Para Y_{1} usamos frações parciais diretas; para Y_{2} primeiro encontraremos F(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}, achamos f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e então aplicamos o teorema do deslocamento: \mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}F(s)\}=u_{2}(t)f(t-2).
Essa expressão descreve y(t) para todo t\ge0: a parte e^{-t}-e^{-2t} atua para todo t, e a parcela multiplicada por u_{2}(t) só “liga” a partir de t=2, como esperado pela força externa u_{2}(t).