3{ }^{\underline{\text { a }}} Questão ( 40 pontos):

Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformadas de Laplace):
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=u_{2}(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução y(t) do problema de valor inicial
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y = u_{2}(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações importantes dadas:
\text{(i) A equação diferencial: } y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y = u_{2}(t).çã
\text{(ii) Condições iniciais: } y(0)=0,\; y'(0)=1.çõ
\text{(iii) } u_{2}(t)\text{ é a função degrau de Heaviside deslocada: }u_{2}(t)=\begin{cases}0,&t<2,\\[4pt]1,&t\ge2.\end{cases}éçã]

Passo 2

Vamos lembrar as ferramentas que usaremos (explicação didática):
\text{Definição: } \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.çã
Transformadas úteis (derivadas e degrau):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.
Teorema do deslocamento no tempo (inverso): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u_{a}(t)\,f(t-a).
Vou usar essas fórmulas passo a passo para transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois voltar para y(t).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, usamos as fórmulas das derivadas e a transformada de u_{2}(t):
\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{u_{2}(t)\}.
Substituindo:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+3\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s}.
Agora use as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1:
\big(s^{2}Y(s)-1\big)+3\big(sY(s)\big)+2Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s}.
Agrupando os termos com Y(s):
Y(s)\big(s^{2}+3s+2\big)-1=\frac{e^{-2s}}{s}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+3s+2}+\frac{e^{-2s}}{s\big(s^{2}+3s+2\big)}.

Passo 4

Fatoramos s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2). Então escrevemos
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}+\;e^{-2s}\cdot\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.
Isso mostra que Y(s) é soma de duas parcelas:
Y_{1}(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\quad\text{e}\quad Y_{2}(s)=e^{-2s}\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.
A estratégia é inverter cada parcela separadamente. Para Y_{1} usamos frações parciais diretas; para Y_{2} primeiro encontraremos F(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}, achamos f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} e então aplicamos o teorema do deslocamento: \mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}F(s)\}=u_{2}(t)f(t-2).

Passo 5

Calculemos y_{1}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_{1}(s)\}. Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s+1)(s+2) obtemos
1=A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo valores de s para achar A,B: para s=-1 vem 1=A(1)\Rightarrow A=1. Para s=-2 vem 1=B(-1)\Rightarrow B=-1.
Logo
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Invertendo:
y_{1}(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-t}-e^{-2t},\quad t\ge0.

Passo 6

Agora Y_{2}(s)=e^{-2s}F(s) com
F(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.
Fazemos frações parciais para F(s):
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando por s(s+1)(s+2) obtemos
1=A(s+1)(s+2)+B s(s+2)+C s(s+1).
Avalie em s=0: 1= A(1)(2)=2A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
Avalie em s=-1: 1= B(-1)(1)=-B\Rightarrow B=-1.
Avalie em s=-2: 1= C(-2)(-1)=2C\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
Portanto
F(s)=\frac{1/2}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1/2}{s+2}.
Invertendo a transformada:
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\qquad t\ge0.
Agora aplicamos o teorema do deslocamento: como Y_{2}(s)=e^{-2s}F(s),
y_{2}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_{2}(s)\}=u_{2}(t)\,f(t-2).
Substituindo f:
y_{2}(t)=u_{2}(t)\left(\frac{1}{2}-e^{-(t-2)}+\frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\right).

Passo 7

Somando as duas parcelas (a solução total é a soma das inversas):
y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)=e^{-t}-e^{-2t}+u_{2}(t)\left(\frac{1}{2}-e^{-(t-2)}+\frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\right).
Essa expressão descreve y(t) para todo t\ge0: a parte e^{-t}-e^{-2t} atua para todo t, e a parcela multiplicada por u_{2}(t) só “liga” a partir de t=2, como esperado pela força externa u_{2}(t).

Resposta

y(t)=e^{-t}-e^{-2t}+u_{2}(t)\left(\dfrac{1}{2}-e^{-(t-2)}+\dfrac{1}{2}e^{-2(t-2)}\right)

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